$a:b = b:c$ のとき、等式 $\frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3} + \frac{1}{c^3} = \frac{a^3 + b^3 + c^3}{a^2 b^2 c^2}$ が成り立つことを示す。

1. 問題の内容

$a:b = b:c$ のとき、等式 $\frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3} + \frac{1}{c^3} = \frac{a^3 + b^3 + c^3}{a^2 b^2 c^2}$ が成り立つことを示す。

2. 解き方の手順

$a:b = b:c$ より、$b^2 = ac$ が成り立つ。

左辺を計算する。

$\frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3} + \frac{1}{c^3} = \frac{b^3 c^3 + a^3 c^3 + a^3 b^3}{a^3 b^3 c^3}$

ここで、$b^2 = ac$ より $b^6 = a^3 c^3$ なので、

$\frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3} + \frac{1}{c^3} = \frac{b^3 c^3 + a^3 c^3 + a^3 b^3}{a^3 b^3 c^3} = \frac{b^3 c^3 + b^6 + a^3 b^3}{a^3 b^3 c^3} = \frac{b^3 (c^3 + b^3 + a^3)}{a^3 b^3 c^3} = \frac{a^3 + b^3 + c^3}{a^3 b^0 c^3} \cdot \frac{b^3}{b^3} \frac{1}{a^2/ a } \frac{1}{ c^2/c }$

左辺は、

$\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{b^3 c^3 + a^3 c^3 + a^3 b^3}{a^3 b^3 c^3}$

$b^2 = ac$ より、$b^3=b^2 \cdot b = acb$ なので、$a^3 c^3 = b^6$.

$\frac{b^3 c^3 + b^6 + a^3 b^3}{a^3 b^3 c^3} = \frac{b^3 (c^3 + b^3 + a^3)}{a^3 b^3 c^3}=\frac{a^3 + b^3 + c^3}{a^3 c^3}$

ここで、$a^2 b^2 c^2 = a^2 c^2 b^2=a^2 c^2 (ac)=a^3 c^3$.

よって、

$\frac{a^3 + b^3 + c^3}{a^3 c^3} = \frac{a^3 + b^3 + c^3}{a^2 b^2 c^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3} + \frac{1}{c^3} = \frac{a^3 + b^3 + c^3}{a^2 b^2 c^2}$ が成り立つ。