$M$ を2以上の整数とし、袋の中に0から $M$ までの数字が一つずつ書かれた $M+1$ 枚のカードが入っている。 操作Tは、袋の中から同時に3枚のカードを取り出し、取り出された3枚のカードに書かれた数字のうち、最小のものを $X$、最大のものを $Y$ とし、取り出した3枚のカードを袋に戻す。 (1) $M=4$ のとき、Tを1回行う場合の、確率変数 $X$ の確率分布、平均、分散を求め、さらに確率変数 $Y-X$ の平均、分散を求める。 (2) $M=6$ のとき、Tを1回行う場合の、$P(Y-X=6)$ を求める。

1. 問題の内容

$M$ を2以上の整数とし、袋の中に0から $M$ までの数字が一つずつ書かれた $M+1$ 枚のカードが入っている。

操作Tは、袋の中から同時に3枚のカードを取り出し、取り出された3枚のカードに書かれた数字のうち、最小のものを $X$、最大のものを $Y$ とし、取り出した3枚のカードを袋に戻す。

(1) $M=4$ のとき、Tを1回行う場合の、確率変数 $X$ の確率分布、平均、分散を求め、さらに確率変数 $Y-X$ の平均、分散を求める。

(2) $M=6$ のとき、Tを1回行う場合の、$P(Y-X=6)$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $M=4$ のとき、袋の中には0, 1, 2, 3, 4の5枚のカードが入っている。3枚のカードの選び方は ${}_5C_3 = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10$ 通りである。

- $P(X=0)$ を求める。

$X=0$ となるのは、取り出す3枚のカードに0が含まれる場合である。

0を含む3枚の選び方は、残りの2枚を1, 2, 3, 4から選ぶので、${}_4C_2 = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$ 通り。

よって、$P(X=0) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$。

- $P(X=1)$ を求める。

$X=1$ となるのは、取り出す3枚のカードに1が含まれ、0が含まれない場合である。

1を含む3枚の選び方は、最小値が1なので、選ぶ3枚は1, 2, 3, 4のいずれかである。また、0を含まない必要があるので、残り2枚は2, 3, 4から選ぶ。${}_3C_2 = \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 1} = 3$通り。

よって、$P(X=1) = \frac{3}{10}$。

- $P(X=2)$ を求める。

$X=2$ となるのは、取り出す3枚のカードに2が含まれ、0, 1が含まれない場合である。

2を含む3枚の選び方は、最小値が2なので、選ぶ3枚は2, 3, 4のいずれかである。また、0, 1を含まない必要があるので、残り2枚は3, 4から選ぶ。${}_2C_2 = 1$通り。

よって、$P(X=2) = \frac{1}{10}$。

- $X$ の平均（期待値）$E[X]$ を求める。

$E[X] = 0 \cdot P(X=0) + 1 \cdot P(X=1) + 2 \cdot P(X=2) = 0 \cdot \frac{3}{5} + 1 \cdot \frac{3}{10} + 2 \cdot \frac{1}{10} = 0 + \frac{3}{10} + \frac{2}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$。

- $X$ の分散 $V[X]$ を求める。

$E[X^2] = 0^2 \cdot P(X=0) + 1^2 \cdot P(X=1) + 2^2 \cdot P(X=2) = 0 \cdot \frac{3}{5} + 1 \cdot \frac{3}{10} + 4 \cdot \frac{1}{10} = 0 + \frac{3}{10} + \frac{4}{10} = \frac{7}{10}$。

$V[X] = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{7}{10} - (\frac{1}{2})^2 = \frac{7}{10} - \frac{1}{4} = \frac{14}{20} - \frac{5}{20} = \frac{9}{20}$。

- $Y-X$ の平均 $E[Y-X]$ を求める。

$Y$ の取りうる値は2, 3, 4である。

$P(Y=4) = \frac{{}_4C_2}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

$P(Y=3) = \frac{{}_3C_2}{10} = \frac{3}{10}$

$P(Y=2) = \frac{{}_2C_2}{10} = \frac{1}{10}$

$E[Y] = 2 \cdot \frac{1}{10} + 3 \cdot \frac{3}{10} + 4 \cdot \frac{6}{10} = \frac{2 + 9 + 24}{10} = \frac{35}{10} = \frac{7}{2}$

$E[Y-X] = E[Y] - E[X] = \frac{7}{2} - \frac{1}{2} = \frac{6}{2} = 3$

3枚選んだ時の組み合わせをすべて書き出す。

0, 1, 2 Y-X = 2

0, 1, 3 Y-X = 3

0, 1, 4 Y-X = 4

0, 2, 3 Y-X = 3

0, 2, 4 Y-X = 4

0, 3, 4 Y-X = 4

1, 2, 3 Y-X = 2

1, 2, 4 Y-X = 3

1, 3, 4 Y-X = 3

2, 3, 4 Y-X = 2

平均 (2+3+4+3+4+4+2+3+3+2)/10 = 30/10 = 3

- $Y-X$ の分散 $V[Y-X]$ を求める。

$E[(Y-X)^2] = \frac{2^2+3^2+4^2+3^2+4^2+4^2+2^2+3^2+3^2+2^2}{10} = \frac{4+9+16+9+16+16+4+9+9+4}{10} = \frac{96}{10} = 9.6$

$V[Y-X] = E[(Y-X)^2] - (E[Y-X])^2 = 9.6 - 3^2 = 9.6 - 9 = 0.6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

(2) $M=6$ のとき、袋の中には0, 1, 2, 3, 4, 5, 6の7枚のカードが入っている。3枚のカードの選び方は ${}_7C_3 = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35$ 通りである。

$P(Y-X=6)$ を求める。これは、選んだ3枚のカードが0と6を含み、それ以外の1枚が1, 2, 3, 4, 5のいずれかである場合である。

よって、5通りの選び方がある。

したがって、$P(Y-X=6) = \frac{5}{35} = \frac{1}{7}$。

3. 最終的な答え

(1)

$P(X=0) = \frac{3}{5}$

$P(X=1) = \frac{3}{10}$

$P(X=2) = \frac{1}{10}$

$X$ の平均 (期待値) は $\frac{1}{2}$

$X$ の分散は $\frac{9}{20}$

$Y-X$ の平均 (期待値) は $3$

$Y-X$ の分散は $\frac{3}{5}$

(2)

$P(Y-X=6) = \frac{1}{7}$