与えられた式 $x^2 - 8xy + 128y^2$ を因数分解できるか検討し、可能であれば因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 - 8xy + 128y^2$ を因数分解できるか検討し、可能であれば因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式が完全平方式になるかどうかを確認します。完全平方式の形は $(x - ay)^2 = x^2 - 2axy + a^2y^2$ です。

$x^2 - 8xy + 128y^2$ と $x^2 - 2axy + a^2y^2$ を比較すると、

$-8xy = -2axy$ より、$2a = 8$ なので、$a = 4$ となります。

したがって、$a^2 = 4^2 = 16$ です。

しかし、$128y^2 \ne 16y^2$ なので、$x^2 - 8xy + 128y^2$ は完全平方式ではありません。

次に、因数分解ができるか試みます。

$x^2 - 8xy + 128y^2 = (x + Ay)(x + By)$ と仮定します。

展開すると、

$(x + Ay)(x + By) = x^2 + (A+B)xy + ABy^2$ となります。

$x^2 - 8xy + 128y^2 = x^2 + (A+B)xy + ABy^2$ を比較すると、

$A+B = -8$

$AB = 128$

$A+B=-8$ より、$B = -8-A$

これを $AB = 128$ に代入すると、

$A(-8-A) = 128$

$-8A - A^2 = 128$

$A^2 + 8A + 128 = 0$

この二次方程式の判別式 $D = b^2 - 4ac$ を計算します。

$D = 8^2 - 4(1)(128) = 64 - 512 = -448$

判別式が負なので、実数の範囲では解が存在しません。

したがって、$x^2 - 8xy + 128y^2$ は因数分解できません。

3. 最終的な答え

因数分解できない。