2次関数 $y = -x^2 + 2mx - 4m + 5$ の最大値を $k$ とします。 (1) $k$ を $m$ の式で表してください。 (2) $k$ の値を最小にする $m$ の値と、$k$ の最小値を求めてください。

## 問題10

1. 問題の内容

2次関数 $y = -x^2 + 2mx - 4m + 5$ の最大値を $k$ とします。

(1) $k$ を $m$ の式で表してください。

(2) $k$ の値を最小にする $m$ の値と、$k$ の最小値を求めてください。

2. 解き方の手順

(1) 与えられた2次関数を平方完成します。

$y = -x^2 + 2mx - 4m + 5$

$y = -(x^2 - 2mx) - 4m + 5$

$y = -(x^2 - 2mx + m^2 - m^2) - 4m + 5$

$y = -(x - m)^2 + m^2 - 4m + 5$

この2次関数は、$x=m$ のとき最大値 $k = m^2 - 4m + 5$ をとります。

(2) $k = m^2 - 4m + 5$ を最小にする $m$ の値を求めます。$k$ は $m$ の2次関数なので、平方完成して最小値を求めます。

$k = m^2 - 4m + 5$

$k = (m^2 - 4m + 4) + 1$

$k = (m - 2)^2 + 1$

$k$ は $m = 2$ のとき最小値 1 をとります。

3. 最終的な答え

(1) $k = m^2 - 4m + 5$

(2) $m = 2$ のとき、$k$ の最小値は $1$

## 問題11

1. 問題の内容

放物線 $y = 4 - x^2$ と $x$ 軸で囲まれた部分に、長方形 ABCD を辺 BC が $x$ 軸上にあるように内接させます。C の座標を $(x, 0)$ とするとき、次の問いに答えてください。

(1) 長方形 ABCD の周の長さを $y$ として、$y$ を $x$ の式で表してください。

(2) $x$ の範囲を述べてください。

(3) $y$ が最大となるときの辺 BC の長さを求めてください。

2. 解き方の手順

(1) 長方形 ABCD の周の長さを $y$ で表す。C の座標は $(x, 0)$ なので、D の座標は $(x, 4 - x^2)$ となります。

したがって、CD の長さは $4 - x^2$ です。

また、BC の長さは $2x$ となります（放物線は y 軸に関して対称なので）。

長方形の周の長さ $y$ は、

$y = 2(BC + CD)$

$y = 2(2x + 4 - x^2)$

$y = 4x + 8 - 2x^2$

$y = -2x^2 + 4x + 8$

(2) $x$ の範囲を求める。長方形が放物線 $y = 4 - x^2$ と $x$ 軸で囲まれた部分に内接しているので、$x > 0$ である必要があります。また、放物線 $y = 4 - x^2$ と $x$ 軸との交点は $4 - x^2 = 0$ より $x = \pm 2$ なので、 $0 < x < 2$ となります。

(3) $y$ が最大となるときの辺 BC の長さを求める。

$y = -2x^2 + 4x + 8$ を平方完成します。

$y = -2(x^2 - 2x) + 8$

$y = -2(x^2 - 2x + 1 - 1) + 8$

$y = -2(x - 1)^2 + 2 + 8$

$y = -2(x - 1)^2 + 10$

$y$ は $x = 1$ のとき最大値 10 をとります。

$x = 1$ のとき、BC の長さは $2x = 2 \times 1 = 2$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $y = -2x^2 + 4x + 8$

(2) $0 < x < 2$

(3) 2