円 $x^2 + y^2 = r^2$ と直線 $y = -3x + 10$ について、以下の問いに答える。 (1) $r = \sqrt{20}$ のとき、円と直線の共有点の座標を求める。 (2) 円と直線が共有点を持つとき、$r$ の値の範囲を求める。 (3) 円が、円 $(x-6)^2 + (y+8)^2 = 9$ と内接するとき、半径 $r$ の値を求める。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = r^2$ と直線 $y = -3x + 10$ について、以下の問いに答える。

(1) $r = \sqrt{20}$ のとき、円と直線の共有点の座標を求める。

(2) 円と直線が共有点を持つとき、$r$ の値の範囲を求める。

(3) 円が、円 $(x-6)^2 + (y+8)^2 = 9$ と内接するとき、半径 $r$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $r = \sqrt{20}$ のとき、$x^2 + y^2 = 20$ と $y = -3x + 10$ の連立方程式を解く。

$x^2 + (-3x + 10)^2 = 20$

$x^2 + 9x^2 - 60x + 100 = 20$

$10x^2 - 60x + 80 = 0$

$x^2 - 6x + 8 = 0$

$(x - 2)(x - 4) = 0$

$x = 2, 4$

$x = 2$ のとき、$y = -3(2) + 10 = 4$

$x = 4$ のとき、$y = -3(4) + 10 = -2$

したがって、共有点の座標は $(2, 4)$ と $(4, -2)$ である。

(2) 円と直線が共有点を持つ条件は、円の中心 $(0, 0)$ と直線 $3x + y - 10 = 0$ の距離 $d$ が、半径 $r$ 以下であること。

$d = \frac{|3(0) + 0 - 10|}{\sqrt{3^2 + 1^2}} = \frac{10}{\sqrt{10}} = \sqrt{10}$

したがって、$r \ge \sqrt{10}$。 また、$r$ は半径なので、$r>0$を満たす必要があるので、$r \ge \sqrt{10}$

(3) 2つの円が内接するとき、中心間の距離は半径の差の絶対値に等しい。

円 $x^2 + y^2 = r^2$ の中心は $(0, 0)$ であり、半径は $r$ である。

円 $(x-6)^2 + (y+8)^2 = 9$ の中心は $(6, -8)$ であり、半径は $3$ である。

中心間の距離は $\sqrt{(6-0)^2 + (-8-0)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$

したがって、 $|r - 3| = 10$

$r - 3 = 10$ または $r - 3 = -10$

$r = 13$ または $r = -7$

半径は正なので、$r = 13$ である。

3. 最終的な答え

(1) $(2, 4)$, $(4, -2)$

(2) $r \ge \sqrt{10}$

(3) $r = 13$