$\triangle OAB$において、辺$OB$を$1:2$に内分する点を$L$、辺$AB$の中点を$M$とする。線分$OM$と線分$AL$の交点を$P$とするとき、$OP:PM$を求めよ。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$において、辺$OB$を$1:2$に内分する点を$L$、辺$AB$の中点を$M$とする。線分$OM$と線分$AL$の交点を$P$とするとき、$OP:PM$を求めよ。

2. 解き方の手順

ベクトルを用いて解く。

まず、$OA = \vec{a}$, $OB = \vec{b}$ とおく。

点$L$は辺$OB$を$1:2$に内分するので、

$\vec{OL} = \frac{1}{3} \vec{b}$

点$M$は辺$AB$の中点なので、

$\vec{OM} = \frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b})$

点$P$は線分$OM$上にあるので、$OP:PM = s:1-s$とすると、

$\vec{OP} = s \vec{OM} = \frac{s}{2} \vec{a} + \frac{s}{2} \vec{b}$

また、点$P$は線分$AL$上にあるので、$AP:PL = t:1-t$とすると、

$\vec{OP} = (1-t) \vec{OA} + t \vec{OL} = (1-t) \vec{a} + \frac{t}{3} \vec{b}$

したがって、

$\frac{s}{2} \vec{a} + \frac{s}{2} \vec{b} = (1-t) \vec{a} + \frac{t}{3} \vec{b}$

$\vec{a}$と$\vec{b}$は一次独立なので、

$\frac{s}{2} = 1-t$

$\frac{s}{2} = \frac{t}{3}$

これらを解くと、

$1-t = \frac{t}{3}$

$1 = \frac{4}{3} t$

$t = \frac{3}{4}$

$\frac{s}{2} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4}$

$\frac{s}{2} = \frac{1}{4}$

$s = \frac{1}{2}$

よって、$OP:PM = s:1-s = \frac{1}{2} : \frac{1}{2} = 1:1$

したがって、$OP:PM = 1:1$

3. 最終的な答え

$OP:PM = 1:1$