問題は2つあります。 (1) 図において、$\angle FBA = 35^\circ$ のとき、$\angle FED$ の大きさを求めよ。 (2) 図において、$AB = 4$ cm, $AF = 3$ cm, $BF = 5$ cmのとき、線分$DG$ の長さを求めよ。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) 図において、$\angle FBA = 35^\circ$ のとき、$\angle FED$ の大きさを求めよ。

(2) 図において、$AB = 4$ cm, $AF = 3$ cm, $BF = 5$ cmのとき、線分$DG$ の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\angle FED$ を求める。

四角形ABCDは正方形なので$\angle ABC=90^\circ$。

$\angle FBA = 35^\circ$なので、$\angle CBF=90^\circ - 35^\circ=55^\circ$。

また、$\angle BCF=90^\circ$。

よって、三角形BCFにおいて、$\angle CFB = 180^\circ-90^\circ-55^\circ = 35^\circ$。

三角形FABにおいて、$\angle AFB + \angle FAB + 35 = 180$, よって$\angle AFB + \angle FAB=145$。

$\angle AFB$は$\angle AFE + \angle EFB$なので、$\angle AFE + \angle EFB + \angle FAB=145$。

$\angle DEF=90-\angle FED$。

また、四角形AFEDにおいて、$\angle FAD=90^\circ$、$\angle ADE=90^\circ$、$\angle AFE+\angle FED+\angle EDA+\angle DAF=360^\circ$。よって$\angle AFE+\angle FED+90^\circ+90^\circ=360^\circ$。よって$\angle AFE+\angle FED=180^\circ$。

$\angle ABF + \angle CBF = \angle ABC = 90^\circ$より、$\angle CBF = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$。

$\angle BFC = 180^\circ - 90^\circ - 55^\circ = 35^\circ$。

$\angle AFB = 180^\circ - 35^\circ - \angle BAF$。

$\angle EFB=180-\angle AFB-\angle AFE=180-(180-35-\angle BAF)-\angle AFE = 35+\angle BAF-\angle AFE$。

しかしながら、これだけでは、$\angle FED$を求めることができない。

しかし、問題文に$\angle FBA = 35^\circ$と与えられているので、図に書き込まれている$\angle AFE = 55^\circ$は間違いである。

$\angle FBA = 35^\circ$ より、$\angle CBF = 55^\circ$。 $\angle BCF = 90^\circ$ より、$\angle CFB = 35^\circ$。

$\angle DFE = \angle CFB = 35^\circ$ （対頂角）。

$\angle DGF=90^\circ$なので、$\angle FDG=90-\angle DFG$

$\angle FDE=180-\angle AFD-\angle DFG$

$\angle FED=90-55=35^\circ$.

(2) 線分$DG$ の長さを求める。

$AB = 4$ cm, $AF = 3$ cm, $BF = 5$ cmである。

三角形$ABF$において、$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$より、$\angle BAF = 90^\circ$である。

点A,B,C,Dは正方形の頂点なので、正方形ABCDの一辺の長さは4cm。

点GはBF上にあり、DGはBFに垂直なので、三角形ABFと三角形ADGは相似である。

よって、$\triangle ABF \sim \triangle DAG$なので、$\frac{DG}{AB} = \frac{AD}{BF}$が成り立つ。

$\frac{DG}{4} = \frac{4}{5}$より、$DG = \frac{16}{5}$ cm。

3. 最終的な答え

(1) $\angle FED = 35^\circ$

(2) $DG = \frac{16}{5}$ cm