与えられた5つの問題を解く。 (1) $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{54}} + \frac{5}{3\sqrt{2}}$ を計算して簡単にせよ。 (2) $(3x-2y)^2 - (2x+3y)(-2x+3y)$ を展開して整理せよ。 (3) $6x^2 - 19x - 20$ を因数分解せよ。 (4) 方程式 $|1-5x|=4$ を解け。 (5) 連立不等式 $\begin{cases} 2x+0.7 > 0.4(1-x) \\ \frac{x-5}{7} + 1 \ge \frac{x-2}{5} \end{cases}$ を解け。

1. 問題の内容

与えられた5つの問題を解く。

(1) $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{54}} + \frac{5}{3\sqrt{2}}$ を計算して簡単にせよ。

(2) $(3x-2y)^2 - (2x+3y)(-2x+3y)$ を展開して整理せよ。

(3) $6x^2 - 19x - 20$ を因数分解せよ。

(4) 方程式 $|1-5x|=4$ を解け。

(5) 連立不等式 $\begin{cases} 2x+0.7 > 0.4(1-x) \\ \frac{x-5}{7} + 1 \ge \frac{x-2}{5} \end{cases}$ を解け。

2. 解き方の手順

(1)

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{54}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{9 \cdot 6}} = \frac{\sqrt{3}}{3\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3}}{3\sqrt{2}\sqrt{3}} = \frac{1}{3\sqrt{2}}$

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{54}} + \frac{5}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{3\sqrt{2}} + \frac{5}{3\sqrt{2}} = \frac{6}{3\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$

(2)

$(3x-2y)^2 = 9x^2 - 12xy + 4y^2$

$(2x+3y)(-2x+3y) = (3y+2x)(3y-2x) = 9y^2 - 4x^2$

$(3x-2y)^2 - (2x+3y)(-2x+3y) = 9x^2 - 12xy + 4y^2 - (9y^2 - 4x^2) = 9x^2 - 12xy + 4y^2 - 9y^2 + 4x^2 = 13x^2 - 12xy - 5y^2$

(3)

$6x^2 - 19x - 20 = (2x-5)(3x+4)$

(4)

$|1-5x| = 4$

$1-5x = 4$ または $1-5x = -4$

$-5x = 3$ または $-5x = -5$

$x = -\frac{3}{5}$ または $x = 1$

(5)

$2x+0.7 > 0.4(1-x)$

$2x + 0.7 > 0.4 - 0.4x$

$2.4x > -0.3$

$x > -\frac{0.3}{2.4} = -\frac{3}{24} = -\frac{1}{8}$

$\frac{x-5}{7} + 1 \ge \frac{x-2}{5}$

$\frac{x-5+7}{7} \ge \frac{x-2}{5}$

$\frac{x+2}{7} \ge \frac{x-2}{5}$

$5(x+2) \ge 7(x-2)$

$5x+10 \ge 7x-14$

$24 \ge 2x$

$12 \ge x$

$x \le 12$

$-\frac{1}{8} < x \le 12$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{2}$

(2) $13x^2 - 12xy - 5y^2$

(3) $(2x-5)(3x+4)$

(4) $x = -\frac{3}{5}, 1$

(5) $-\frac{1}{8} < x \le 12$