$0^\circ < \theta < 180^\circ$ のとき、$\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2}$ である。このとき、$\sin^3 \theta + \cos^3 \theta$ の値を求める。

1. 問題の内容

$0^\circ < \theta < 180^\circ$ のとき、$\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2}$ である。このとき、$\sin^3 \theta + \cos^3 \theta$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2}$ の両辺を2乗する。

$$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = (\frac{1}{2})^2$$

$$\sin^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = \frac{1}{4}$$

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ であるから、

$$1 + 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{4}$$

$$2 \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{4} - 1 = -\frac{3}{4}$$

$$\sin \theta \cos \theta = -\frac{3}{8}$$

次に、$\sin^3 \theta + \cos^3 \theta$ を因数分解する。

$$\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = (\sin \theta + \cos \theta)(\sin^2 \theta - \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta)$$

$$\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = (\sin \theta + \cos \theta)(1 - \sin \theta \cos \theta)$$

$\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2}$ および $\sin \theta \cos \theta = -\frac{3}{8}$ を代入する。

$$\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = \frac{1}{2}(1 - (-\frac{3}{8})) = \frac{1}{2}(1 + \frac{3}{8}) = \frac{1}{2}(\frac{8+3}{8}) = \frac{1}{2} \times \frac{11}{8} = \frac{11}{16}$$

3. 最終的な答え

$\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = \frac{11}{16}$