2次関数 $f(x) = 3x^2 + 12x + 20$ がある。このグラフを $x$ 軸方向に $t$、$y$ 軸方向に $t^2 - 6t$ だけ平行移動したグラフをもつ2次関数を $y = h(x)$ とおく。2次方程式 $h(x) = 0$ が異なる二つの正の解をもつような定数 $t$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = 3x^2 + 12x + 20$ がある。このグラフを $x$ 軸方向に $t$、$y$ 軸方向に $t^2 - 6t$ だけ平行移動したグラフをもつ2次関数を $y = h(x)$ とおく。2次方程式 $h(x) = 0$ が異なる二つの正の解をもつような定数 $t$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、$h(x)$ を求める。平行移動の公式より、

$h(x) = f(x - t) + t^2 - 6t$

$h(x) = 3(x - t)^2 + 12(x - t) + 20 + t^2 - 6t$

$h(x) = 3(x^2 - 2tx + t^2) + 12x - 12t + 20 + t^2 - 6t$

$h(x) = 3x^2 - 6tx + 3t^2 + 12x - 12t + 20 + t^2 - 6t$

$h(x) = 3x^2 + (12 - 6t)x + 4t^2 - 18t + 20$

$h(x) = 0$ が異なる二つの正の解をもつ条件は、次の3つである。

(1) 判別式 $D > 0$

(2) 軸 $x = -\frac{b}{2a} > 0$

(3) $h(0) > 0$

(1) $D = (12 - 6t)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (4t^2 - 18t + 20) > 0$

$36(2 - t)^2 - 12(4t^2 - 18t + 20) > 0$

$3(4 - 4t + t^2) - (4t^2 - 18t + 20) > 0$

$12 - 12t + 3t^2 - 4t^2 + 18t - 20 > 0$

$-t^2 + 6t - 8 > 0$

$t^2 - 6t + 8 < 0$

$(t - 2)(t - 4) < 0$

$2 < t < 4$

(2) 軸 $x = -\frac{12 - 6t}{2 \cdot 3} = -\frac{12 - 6t}{6} = -\frac{6(2 - t)}{6} = t - 2 > 0$

$t > 2$

(3) $h(0) = 4t^2 - 18t + 20 > 0$

$2t^2 - 9t + 10 > 0$

$(2t - 5)(t - 2) > 0$

$t < 2$ または $t > \frac{5}{2}$

(1), (2), (3) より、

$2 < t < 4$ かつ $t > 2$ かつ ($t < 2$ または $t > \frac{5}{2}$)

よって、$\frac{5}{2} < t < 4$

3. 最終的な答え

5/2 < t < 4