10枚の番号札から3枚を選ぶ組み合わせの総数は、組み合わせの公式を用いて計算できます。 $$ _{10}C_3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120 $$

## 問題1

1から10までの番号札10枚から、同時に3枚の番号札を引くとき、その中に1の番号札が含まれている場合は何通りあるか。

## 解き方の手順

1. **全体の組み合わせの数を計算する。**

10枚の番号札から3枚を選ぶ組み合わせの総数は、組み合わせの公式を用いて計算できます。

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_{10}C_3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120

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2. **1が含まれない組み合わせの数を計算する。**

1の番号札を含まない組み合わせは、2から10までの9枚の番号札から3枚を選ぶ組み合わせです。

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_9C_3 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84

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3. **1が含まれる組み合わせの数を計算する。**

1が含まれる組み合わせの数は、全体の組み合わせの数から1が含まれない組み合わせの数を引くことで求められます。

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_{10}C_3 - _9C_3 = 120 - 84 = 36

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## 最終的な答え

36通り

## 問題2

次の図のような街路で、AからBまで行く最短経路は何通りあるか。縦、横の一区画の長さはすべて等しいものとする。

## 解き方の手順

1. **最短経路の総ステップ数を数える。**

AからBまでの最短経路は、右に4ステップ、上に3ステップで構成されています。つまり、合計7ステップです。

2. **経路の組み合わせを考える。**

7ステップのうち、どの3ステップを上に進むか（または、どの4ステップを右に進むか）を選ぶかを考えればよいです。これは、7個の場所から3個を選ぶ組み合わせの問題となります。

3. **組み合わせの公式を適用する。**

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_7C_3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35

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あるいは、7個の場所から4個を選ぶ組み合わせとして考えることもできます。

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_7C_4 = \frac{7!}{4!(7-4)!} = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35

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どちらで計算しても結果は同じです。

## 最終的な答え

35通り