積の形である $ \sin 3\theta \cos 5\theta $ を和または差の形に変形せよ。

1. 問題の内容

積の形である $\sin 3\theta \cos 5\theta$ を和または差の形に変形せよ。

2. 解き方の手順

積和の公式を利用する。

積和の公式のうち、

$\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \{ \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) \}$

を用いる。

$\alpha = 3\theta$, $\beta = 5\theta$ とすると、

$\sin 3\theta \cos 5\theta = \frac{1}{2} \{ \sin(3\theta + 5\theta) + \sin(3\theta - 5\theta) \}$

$= \frac{1}{2} \{ \sin(8\theta) + \sin(-2\theta) \}$

$\sin(-\theta) = -\sin(\theta)$ であるから、

$= \frac{1}{2} \{ \sin 8\theta - \sin 2\theta \}$

$= \frac{1}{2} \sin 8\theta - \frac{1}{2} \sin 2\theta$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} \sin 8\theta - \frac{1}{2} \sin 2\theta$