次の2次関数のグラフを描き、頂点と軸を求めよ。 (1) $y = 2x^2 - 4x - 1$ (2) $y = -x^2 - 2x + 4$ (3) $y = -x^2 + 4x - 3$

はい、承知しました。問題の解き方と解答を以下に示します。

1. 問題の内容

次の2次関数のグラフを描き、頂点と軸を求めよ。

(1) $y = 2x^2 - 4x - 1$

(2) $y = -x^2 - 2x + 4$

(3) $y = -x^2 + 4x - 3$

2. 解き方の手順

各2次関数を平方完成し、$y=a(x-p)^2+q$ の形に変形します。

このとき、頂点の座標は$(p, q)$、軸は直線 $x=p$ となります。

(1) $y = 2x^2 - 4x - 1$ の場合

まず、$x^2$ の係数2で括ります。

$y = 2(x^2 - 2x) - 1$

次に、$x^2 - 2x$ を平方完成します。

$x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1$

よって、

$y = 2((x - 1)^2 - 1) - 1 = 2(x - 1)^2 - 2 - 1 = 2(x - 1)^2 - 3$

したがって、頂点の座標は$(1, -3)$、軸は直線 $x = 1$ です。

(2) $y = -x^2 - 2x + 4$ の場合

まず、$x^2$ の係数-1で括ります。

$y = -(x^2 + 2x) + 4$

次に、$x^2 + 2x$ を平方完成します。

$x^2 + 2x = (x + 1)^2 - 1$

よって、

$y = -((x + 1)^2 - 1) + 4 = -(x + 1)^2 + 1 + 4 = -(x + 1)^2 + 5$

したがって、頂点の座標は$(-1, 5)$、軸は直線 $x = -1$ です。

(3) $y = -x^2 + 4x - 3$ の場合

まず、$x^2$ の係数-1で括ります。

$y = -(x^2 - 4x) - 3$

次に、$x^2 - 4x$ を平方完成します。

$x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4$

よって、

$y = -((x - 2)^2 - 4) - 3 = -(x - 2)^2 + 4 - 3 = -(x - 2)^2 + 1$

したがって、頂点の座標は$(2, 1)$、軸は直線 $x = 2$ です。

3. 最終的な答え

(1)

頂点: $(1, -3)$

軸: $x = 1$

(2)

頂点: $(-1, 5)$

軸: $x = -1$

(3)

頂点: $(2, 1)$

軸: $x = 2$