男子7人と女子3人の中から4人を選ぶとき、選び方は何通りあるか？

1. 問題の内容

男子7人と女子3人の中から4人を選ぶとき、選び方は何通りあるか？

2. 解き方の手順

4人を選ぶパターンは以下の通りです。

* 男子4人、女子0人

* 男子3人、女子1人

* 男子2人、女子2人

* 男子1人、女子3人

それぞれの組み合わせの数を計算し、合計します。

* 男子4人、女子0人: 男子7人から4人を選ぶ組み合わせの数は $_7C_4$ です。

$$_7C_4 = \frac{7!}{4!(7-4)!} = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$$

* 男子3人、女子1人: 男子7人から3人を選ぶ組み合わせの数は $_7C_3$ 、女子3人から1人を選ぶ組み合わせの数は $_3C_1$ です。

$$_7C_3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$$

$$_3C_1 = \frac{3!}{1!(3-1)!} = \frac{3!}{1!2!} = \frac{3}{1} = 3$$

よって、この組み合わせの数は $35 \times 3 = 105$ です。

* 男子2人、女子2人: 男子7人から2人を選ぶ組み合わせの数は $_7C_2$ 、女子3人から2人を選ぶ組み合わせの数は $_3C_2$ です。

$$_7C_2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$$

$$_3C_2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2!1!} = \frac{3}{1} = 3$$

よって、この組み合わせの数は $21 \times 3 = 63$ です。

* 男子1人、女子3人: 男子7人から1人を選ぶ組み合わせの数は $_7C_1$ 、女子3人から3人を選ぶ組み合わせの数は $_3C_3$ です。

$$_7C_1 = \frac{7!}{1!(7-1)!} = \frac{7!}{1!6!} = \frac{7}{1} = 7$$

$$_3C_3 = \frac{3!}{3!(3-3)!} = \frac{3!}{3!0!} = 1$$

よって、この組み合わせの数は $7 \times 1 = 7$ です。

全ての組み合わせの合計は $35 + 105 + 63 + 7 = 210$ です。

3. 最終的な答え

210 通り