放物線 $C_1: y = 2x^2$ 上の点 A(1, 2) における $C_1$ の接線 $\ell$ を求め、さらに、放物線 $C_2: y = -x^2 + ax - b$ が接線 $\ell$ に点 A で接するときの a, b の値を求める。その後、$0 < t < 1$ のとき、接線 $\ell$ と $C_2$ および 2 直線 $x = t, x = 2t + 1$ で囲まれた2つの図形の面積の和 $S(t)$ を求め、$S(t)$ が最小となる $t$ の値を求める。

1. 問題の内容

放物線 $C_1: y = 2x^2$ 上の点 A(1, 2) における $C_1$ の接線 $\ell$ を求め、さらに、放物線 $C_2: y = -x^2 + ax - b$ が接線 $\ell$ に点 A で接するときの a, b の値を求める。その後、$0 < t < 1$ のとき、接線 $\ell$ と $C_2$ および 2 直線 $x = t, x = 2t + 1$ で囲まれた2つの図形の面積の和 $S(t)$ を求め、$S(t)$ が最小となる $t$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(ア) $y = 2x^2$ を微分すると、$y' = 4x$。点 A(1, 2) における接線 $\ell$ の傾きは、$y'(1) = 4(1) = 4$。したがって、接線 $\ell$ の方程式は、$y - 2 = 4(x - 1)$ より、$y = 4x - 2$。

(イ) $C_2: y = -x^2 + ax - b$ が接線 $\ell: y = 4x - 2$ に点 A(1, 2) で接するので、点 A(1, 2) における $C_2$ の接線の傾きも 4 である。$y = -x^2 + ax - b$ を微分すると、$y' = -2x + a$。点 A(1, 2) における接線の傾きは、$y'(1) = -2(1) + a = a - 2$。これが 4 に等しいので、$a - 2 = 4$ より、$a = 6$。また、$C_2$ は点 A(1, 2) を通るので、$2 = -(1)^2 + 6(1) - b$ より、$2 = -1 + 6 - b$、$2 = 5 - b$、$b = 3$。

(ウ) $a = 6, b = 3$ のとき、$C_2: y = -x^2 + 6x - 3$。接線 $\ell: y = 4x - 2$ と $C_2$ の交点の $x$ 座標は、$4x - 2 = -x^2 + 6x - 3$ より、$x^2 - 2x + 1 = 0$、$(x - 1)^2 = 0$、$x = 1$ (重解)。

$C_2 - \ell = -x^2 + 6x - 3 - (4x - 2) = -x^2 + 2x - 1 = -(x - 1)^2$

$S(t) = \int_{t}^{1} (4x - 2 - (-x^2 + 6x - 3))dx + \int_{1}^{2t+1} (-x^2 + 6x - 3 - (4x - 2))dx$

$S(t) = \int_{t}^{1} (x^2 - 2x + 1)dx + \int_{1}^{2t+1} (-x^2 + 2x - 1)dx$

$S(t) = \int_{t}^{1} (x - 1)^2 dx + \int_{1}^{2t+1} -(x - 1)^2 dx$

$S(t) = [\frac{1}{3}(x - 1)^3]_{t}^{1} - [\frac{1}{3}(x - 1)^3]_{1}^{2t+1}$

$S(t) = 0 - \frac{1}{3}(t - 1)^3 - \frac{1}{3}(2t + 1 - 1)^3 + 0$

$S(t) = -\frac{1}{3}(t - 1)^3 - \frac{1}{3}(2t)^3 = -\frac{1}{3}(t^3 - 3t^2 + 3t - 1) - \frac{8}{3}t^3$

$S(t) = -\frac{1}{3}t^3 + t^2 - t + \frac{1}{3} - \frac{8}{3}t^3 = -3t^3 + t^2 - t + \frac{1}{3}$

$S'(t) = -9t^2 + 2t - 1$

$S'(t) = 0$ のとき、$9t^2 - 2t + 1 = 0$。解の公式より、$t = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 36}}{18} = \frac{2 \pm \sqrt{-32}}{18}$。これは実数解を持たないため、$0 < t < 1$ で $S'(t)$ の符号は変わらない。したがって、$S(t)$ は単調減少である。

$t = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(-9)(-1)}}{-18} = \frac{-2 \pm \sqrt{4-36}}{-18}$

間違いがありました。$S'(t)=-9t^2+2t-1$　なので、平方完成すると、

$S'(t)=-9(t^2 - \frac{2}{9}t)-1 = -9(t - \frac{1}{9})^2 + \frac{1}{9} - 1 = -9(t-\frac{1}{9})^2 - \frac{8}{9}$

常に $S'(t) < 0$ なので、単調減少。よって $t$ は $0 < t < 1$ の範囲で、$t$ が小さいほど $S(t)$ は大きくなるため、最小値は定義域の境界に近づくほど小さくなる。 $t=1$　に近づくほど小さくなる。

しかし、 問題は$S(t)$が最小となる$t_1$を求めているので、$S'(t) = 0$となる$t$が存在するものとする。この場合は、計算を最初から見直す。

積分範囲が適切でない可能性があるので、$x = t, x=2t+1$ の関係を確認すると、$x > 1$では正しい。 $S(t)$の計算の仕方を工夫する必要がある。$S(t) = \int_t^{2t+1} |x^2-2x+1|dx$を計算する。

$S(t) = \int_t^{1} (x-1)^2 dx+\int_1^{2t+1} -(x-1)^2dx$

上記の方法で計算すると、$S(t) = -3t^3+t^2-t+1/3$であり、$S'(t) = -9t^2 + 2t - 1 = 0$を解くと、$t = \frac{-2\pm\sqrt{4-36}}{-18} = \frac{1\pm\sqrt{-8}}{9}$。

$S(t)=-3t^3+t^2-t+1/3$,$S'(t)=-9t^2+2t-1$ なので、これは常に負である。最小となる$t_1$を計算できない。問題設定が間違っている？

問題文に立ち返ると、$S(t)$が最小となるtの値を$t_1$とすると、$t_1 = \frac{シ + セ\sqrt{ソ}}{タ}$と書ける。ということは、$S'(t)$には実数解が存在するはず。

問題文より $0<t<1$

$S'(t)=-9t^2+2t-1$ $t=\frac{-2\pm \sqrt{-32}}{-18}=\frac{1}{9}\pm\frac{2\sqrt{2}}{9}i$

なのでこの解は実数解ではない。計算が間違っている可能性を考慮すると、

面積の定義式から見直す。

$\int_{t}^{2t+1} (4x-2)-(-x^2+6x-3)dx=\int_{t}^{2t+1} x^2-2x+1dx=\frac{x^3}{3}-x^2+x|_{t}^{2t+1}=\frac{(2t+1)^3}{3}-(2t+1)^2+2t+1-\frac{t^3}{3}+t^2-t = \frac{8t^3+12t^2+6t+1}{3}-(4t^2+4t+1)+2t+1-\frac{t^3}{3}+t^2-t = \frac{7t^3}{3}-2t^2-t+\frac{1}{3}$

$S'(t)=7t^2/3 * 3 - 2t*2-1 = 7t^2-4t-1=0$ $t = \frac{4\pm\sqrt{16-4*7*(-1)}}{14} = \frac{4\pm\sqrt{44}}{14}=\frac{4\pm 2\sqrt{11}}{14}=\frac{2\pm\sqrt{11}}{7}$

3. 最終的な答え

ア = 4

イ = 2

ウ = 6

エ = 3

オ = -3

カ = 1

キ = 1

ク = 3

ケ = 7

コ = -4

サ = 1

シス = 2

セ = 1

ソ = 11

タ = 7

$t_1 = \frac{2 + \sqrt{11}}{7}$