次の式を1つの三角関数で表す問題です。 (1) $ \sin x + \sqrt{3} \cos x $ (2) $ -\sqrt{3} \sin x + \cos x $

1. 問題の内容

次の式を1つの三角関数で表す問題です。

(1) $\sin x + \sqrt{3} \cos x$

(2) $-\sqrt{3} \sin x + \cos x$

2. 解き方の手順

三角関数の合成の公式を利用します。

$a \sin x + b \cos x = \sqrt{a^2 + b^2} \sin(x + \alpha)$

ここで、$\cos \alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$、$\sin \alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$です。

(1) $\sin x + \sqrt{3} \cos x$ の場合、

$a = 1$, $b = \sqrt{3}$ なので、$\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$

したがって、

$\sin x + \sqrt{3} \cos x = 2 \sin(x + \alpha)$

ここで、$\cos \alpha = \frac{1}{2}$, $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ なので、$\alpha = \frac{\pi}{3}$

よって、$\sin x + \sqrt{3} \cos x = 2 \sin(x + \frac{\pi}{3})$

(2) $-\sqrt{3} \sin x + \cos x$ の場合、

$a = -\sqrt{3}$, $b = 1$ なので、$\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$

したがって、

$-\sqrt{3} \sin x + \cos x = 2 \sin(x + \alpha)$

ここで、$\cos \alpha = \frac{-\sqrt{3}}{2}$, $\sin \alpha = \frac{1}{2}$ なので、$\alpha = \frac{5\pi}{6}$ あるいは $\alpha = \frac{150}{180}\pi = \frac{5\pi}{6}$

別の表現として、$-\sqrt{3} \sin x + \cos x = 2 \cos(x+\frac{\pi}{3})$とも表現できる.

なぜなら,

$2\cos(x+\frac{\pi}{3}) = 2(\cos x\cos\frac{\pi}{3} - \sin x\sin\frac{\pi}{3}) = 2(\cos x\frac{1}{2} - \sin x \frac{\sqrt{3}}{2}) = \cos x -\sqrt{3}\sin x$.

あるいは、$\alpha = \frac{5\pi}{6}$だから、

$-\sqrt{3} \sin x + \cos x = 2\sin(x+\frac{5\pi}{6})$.

3. 最終的な答え

(1) $2 \sin(x + \frac{\pi}{3})$

(2) $2 \sin(x + \frac{5\pi}{6})$

または

(2) $2 \cos(x + \frac{\pi}{3})$