与えられた3つの定積分を計算します。 (1) $\int_2^3 \frac{1}{x^2 - 2x + 1} dx$ (2) $\int_1^3 (2x - 3)^4 dx$ (3) $\int x \sqrt{x - 1} dx$ (積分範囲が不明なため、不定積分を計算します)

1. 問題の内容

与えられた3つの定積分を計算します。

(1) $\int_2^3 \frac{1}{x^2 - 2x + 1} dx$

(2) $\int_1^3 (2x - 3)^4 dx$

(3) $\int x \sqrt{x - 1} dx$ (積分範囲が不明なため、不定積分を計算します)

2. 解き方の手順

(1) $\int_2^3 \frac{1}{x^2 - 2x + 1} dx$

まず、被積分関数を簡単にします。

$x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$

したがって、積分は次のようになります。

$\int_2^3 \frac{1}{(x - 1)^2} dx$

ここで、$u = x - 1$と置換します。$du = dx$。

$x = 2$のとき、$u = 1$、$x = 3$のとき、$u = 2$。

したがって、積分は次のようになります。

$\int_1^2 \frac{1}{u^2} du = \int_1^2 u^{-2} du = [-u^{-1}]_1^2 = [-\frac{1}{u}]_1^2 = -\frac{1}{2} - (-1) = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$

(2) $\int_1^3 (2x - 3)^4 dx$

$u = 2x - 3$と置換します。$du = 2 dx$, $dx = \frac{1}{2} du$.

$x = 1$のとき、$u = 2(1) - 3 = -1$、$x = 3$のとき、$u = 2(3) - 3 = 3$.

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{-1}^3 u^4 \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int_{-1}^3 u^4 du = \frac{1}{2} [\frac{u^5}{5}]_{-1}^3 = \frac{1}{2} (\frac{3^5}{5} - \frac{(-1)^5}{5}) = \frac{1}{2} (\frac{243}{5} + \frac{1}{5}) = \frac{1}{2} (\frac{244}{5}) = \frac{122}{5}$

(3) $\int x \sqrt{x - 1} dx$

$u = x - 1$と置換します。$x = u + 1$, $du = dx$.

したがって、積分は次のようになります。

$\int (u + 1) \sqrt{u} du = \int (u + 1) u^{1/2} du = \int (u^{3/2} + u^{1/2}) du = \frac{u^{5/2}}{5/2} + \frac{u^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{5} u^{5/2} + \frac{2}{3} u^{3/2} + C = \frac{2}{5} (x - 1)^{5/2} + \frac{2}{3} (x - 1)^{3/2} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{2}$

(2) $\frac{122}{5}$

(3) $\frac{2}{5} (x - 1)^{5/2} + \frac{2}{3} (x - 1)^{3/2} + C$