逆三角関数 $\sin^{-1}(2x^2 - 1)$ の導関数を、$0 < x < 1$ の範囲で求めます。

1. 問題の内容

逆三角関数 $\sin^{-1}(2x^2 - 1)$ の導関数を、$0 < x < 1$ の範囲で求めます。

2. 解き方の手順

まず、$x = \cos{\theta}$ と置換します。$0 < x < 1$ なので、$0 < \cos{\theta} < 1$ となり、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ であることがわかります。

このとき、$2x^2 - 1 = 2\cos^2{\theta} - 1 = \cos{2\theta}$ となります。

したがって、$\sin^{-1}(2x^2 - 1) = \sin^{-1}(\cos{2\theta})$ となります。

$\cos{2\theta} = \sin(\frac{\pi}{2} - 2\theta)$ であるから、

$\sin^{-1}(2x^2 - 1) = \sin^{-1}(\sin(\frac{\pi}{2} - 2\theta)) = \frac{\pi}{2} - 2\theta$ となります。ここで、$-\frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{2}-2\theta \le \frac{\pi}{2}$を満たすように$\theta$の範囲を定めなければいけません。

$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$より$-\pi<-2\theta<0$なので $-\frac{\pi}{2}<\frac{\pi}{2}-2\theta<\frac{\pi}{2}$が成立します。

ゆえに$\sin^{-1}(2x^2 - 1) = \frac{\pi}{2} - 2\theta$ が成立します。

$\theta = \cos^{-1} x$ より、$\sin^{-1}(2x^2 - 1) = \frac{\pi}{2} - 2\cos^{-1} x$ となります。

両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{d}{dx} \sin^{-1}(2x^2 - 1) = \frac{d}{dx} (\frac{\pi}{2} - 2\cos^{-1} x) = -2 \frac{d}{dx} \cos^{-1} x$

$\cos^{-1} x$ の微分は $-\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ であるから、

$\frac{d}{dx} \sin^{-1}(2x^2 - 1) = -2 (-\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}) = \frac{2}{\sqrt{1 - x^2}}$

となります。

3. 最終的な答え

$\frac{2}{\sqrt{1 - x^2}}$