与えられた関数をマクローリン展開し、0でない最初の3項を求める問題です。ここでは、(1) $\sin 2x$ と (4) $e^{-5x}$ の2つの関数について解きます。

1. 問題の内容

与えられた関数をマクローリン展開し、0でない最初の3項を求める問題です。ここでは、(1) $\sin 2x$ と (4) $e^{-5x}$ の2つの関数について解きます。

2. 解き方の手順

マクローリン展開は、関数 $f(x)$ を $x=0$ の周りで展開したもので、次のように表されます。

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \cdots$

(1) $f(x) = \sin 2x$ の場合：

* $f(0) = \sin(2 \cdot 0) = \sin 0 = 0$

* $f'(x) = 2\cos 2x$, $f'(0) = 2\cos 0 = 2$

* $f''(x) = -4\sin 2x$, $f''(0) = -4\sin 0 = 0$

* $f'''(x) = -8\cos 2x$, $f'''(0) = -8\cos 0 = -8$

* $f^{(4)}(x) = 16\sin 2x$, $f^{(4)}(0) = 16\sin 0 = 0$

* $f^{(5)}(x) = 32\cos 2x$, $f^{(5)}(0) = 32\cos 0 = 32$

したがって、マクローリン展開は次のようになります。

$\sin 2x = 0 + 2x + \frac{0}{2!}x^2 + \frac{-8}{3!}x^3 + \frac{0}{4!}x^4 + \frac{32}{5!}x^5 + \cdots$

$\sin 2x = 2x - \frac{8}{6}x^3 + \frac{32}{120}x^5 + \cdots$

$\sin 2x = 2x - \frac{4}{3}x^3 + \frac{4}{15}x^5 + \cdots$

最初の0でない3項は、$2x$, $-\frac{4}{3}x^3$, $\frac{4}{15}x^5$です。

(4) $f(x) = e^{-5x}$ の場合：

* $f(0) = e^{-5 \cdot 0} = e^0 = 1$

* $f'(x) = -5e^{-5x}$, $f'(0) = -5e^0 = -5$

* $f''(x) = 25e^{-5x}$, $f''(0) = 25e^0 = 25$

* $f'''(x) = -125e^{-5x}$, $f'''(0) = -125e^0 = -125$

したがって、マクローリン展開は次のようになります。

$e^{-5x} = 1 + (-5)x + \frac{25}{2!}x^2 + \frac{-125}{3!}x^3 + \cdots$

$e^{-5x} = 1 - 5x + \frac{25}{2}x^2 - \frac{125}{6}x^3 + \cdots$

最初の3項は、$1$, $-5x$, $\frac{25}{2}x^2$です。

3. 最終的な答え

(1) $\sin 2x$ の場合：$2x - \frac{4}{3}x^3 + \frac{4}{15}x^5$

(4) $e^{-5x}$ の場合：$1 - 5x + \frac{25}{2}x^2$