次の等式を示す問題です。 $$ \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{(1+x^2)^n} \right) = -\frac{2n-1}{(x^2+1)^n} + \frac{2n}{(x^2+1)^{n+1}} \quad (n \geq 1) $$

1. 問題の内容

次の等式を示す問題です。

$$\frac{d}{dx} \left( \frac{x}{(1+x^2)^n} \right) = -\frac{2n-1}{(x^2+1)^n} + \frac{2n}{(x^2+1)^{n+1}} \quad (n \geq 1)$$

2. 解き方の手順

左辺を計算して右辺と一致することを示します。

まず、積の微分公式 $\frac{d}{dx} (uv) = u'v + uv'$ を用います。

$u = x$, $v = (1+x^2)^{-n}$ とおくと、

$u' = 1$ であり、$v' = -n (1+x^2)^{-n-1} \cdot (2x) = -2nx (1+x^2)^{-n-1}$ となります。

よって、

$$\frac{d}{dx} \left( \frac{x}{(1+x^2)^n} \right) = 1 \cdot (1+x^2)^{-n} + x \cdot (-2nx (1+x^2)^{-n-1})$$

$$= \frac{1}{(1+x^2)^n} - \frac{2nx^2}{(1+x^2)^{n+1}}$$

$$= \frac{1+x^2}{(1+x^2)^{n+1}} - \frac{2nx^2}{(1+x^2)^{n+1}}$$

$$= \frac{1+x^2 - 2nx^2}{(1+x^2)^{n+1}}$$

$$= \frac{1 + (1-2n)x^2}{(1+x^2)^{n+1}}$$

次に、右辺を変形します。

$$-\frac{2n-1}{(x^2+1)^n} + \frac{2n}{(x^2+1)^{n+1}} = \frac{-(2n-1)(x^2+1) + 2n}{(x^2+1)^{n+1}}$$

$$= \frac{-(2n-1)x^2 - (2n-1) + 2n}{(x^2+1)^{n+1}}$$

$$= \frac{-(2n-1)x^2 + 1}{(x^2+1)^{n+1}}$$

$$= \frac{1 + (1-2n)x^2}{(x^2+1)^{n+1}}$$

左辺と右辺が一致することから、等式が成り立つことが示されました。

3. 最終的な答え

$$\frac{d}{dx} \left( \frac{x}{(1+x^2)^n} \right) = -\frac{2n-1}{(x^2+1)^n} + \frac{2n}{(x^2+1)^{n+1}} \quad (n \geq 1)$$