与えられた等式 $\frac{d}{dx} \left( \frac{x}{(1+x^2)^n} \right) = - \frac{2n-1}{(x^2+1)^n} + \frac{2n}{(x^2+1)^{n+1}}$ が、$n \geq 1$ の場合に成り立つことを示す問題です。

1. 問題の内容

与えられた等式

$\frac{d}{dx} \left( \frac{x}{(1+x^2)^n} \right) = - \frac{2n-1}{(x^2+1)^n} + \frac{2n}{(x^2+1)^{n+1}}$

が、$n \geq 1$ の場合に成り立つことを示す問題です。

2. 解き方の手順

左辺を計算し、右辺と一致することを示します。

左辺の微分計算には、商の微分公式を用います。商の微分公式は、

$\frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

で与えられます。

左辺の計算を行います。

$u = x$、 $v = (1+x^2)^n$ とおくと、 $u' = 1$、 $v' = n(1+x^2)^{n-1}(2x) = 2nx(1+x^2)^{n-1}$ となります。

したがって、

\begin{align*}

\frac{d}{dx} \left( \frac{x}{(1+x^2)^n} \right) &= \frac{1 \cdot (1+x^2)^n - x \cdot 2nx(1+x^2)^{n-1}}{((1+x^2)^n)^2} \\

&= \frac{(1+x^2)^n - 2nx^2(1+x^2)^{n-1}}{(1+x^2)^{2n}} \\

&= \frac{(1+x^2)^{n-1} [(1+x^2) - 2nx^2]}{(1+x^2)^{2n}} \\

&= \frac{1+x^2 - 2nx^2}{(1+x^2)^{2n-(n-1)}} = \frac{1 + x^2 - 2nx^2}{(1+x^2)^{n+1}}\\

&= \frac{1 + (1-2n)x^2}{(1+x^2)^{n+1}}

\end{align*}

次に、右辺を通分して計算します。

\begin{align*}

-\frac{2n-1}{(x^2+1)^n} + \frac{2n}{(x^2+1)^{n+1}} &= -\frac{(2n-1)(x^2+1)}{(x^2+1)^{n+1}} + \frac{2n}{(x^2+1)^{n+1}} \\

&= \frac{-(2n-1)(x^2+1) + 2n}{(x^2+1)^{n+1}} \\

&= \frac{-(2n-1)x^2 - (2n-1) + 2n}{(x^2+1)^{n+1}} \\

&= \frac{-(2n-1)x^2 - 2n + 1 + 2n}{(x^2+1)^{n+1}} \\

&= \frac{-(2n-1)x^2 + 1}{(x^2+1)^{n+1}} \\

&= \frac{1 + (1-2n)x^2}{(x^2+1)^{n+1}}

\end{align*}

左辺と右辺が一致することを確認できました。

3. 最終的な答え

与えられた等式

$\frac{d}{dx} \left( \frac{x}{(1+x^2)^n} \right) = - \frac{2n-1}{(x^2+1)^n} + \frac{2n}{(x^2+1)^{n+1}}$

は、$n \geq 1$ の場合に成り立つ。