曲線 $y = x^3 - 4x^2$ 上の点 A(3, -9) における接線を $\ell$ とする。 (1) 接線 $\ell$ の方程式を求めよ。 (2) この曲線の接線には、$\ell$ に平行なもう1本の接線がある。その接点 B の x 座標を求めよ。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^3 - 4x^2$ 上の点 A(3, -9) における接線を $\ell$ とする。

(1) 接線 $\ell$ の方程式を求めよ。

(2) この曲線の接線には、$\ell$ に平行なもう1本の接線がある。その接点 B の x 座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、曲線の式 $y = x^3 - 4x^2$ を微分して、導関数 $y'$ を求める。

$y' = 3x^2 - 8x$

点 A(3, -9) における接線の傾きは、$x=3$ を $y'$ に代入して求める。

$y'(3) = 3(3)^2 - 8(3) = 27 - 24 = 3$

したがって、接線 $\ell$ の傾きは 3 である。

点 A(3, -9) を通り、傾きが 3 の直線の方程式は、

$y - (-9) = 3(x - 3)$

$y + 9 = 3x - 9$

$y = 3x - 18$

(2)

$\ell$ に平行な接線は、傾きが 3 である。したがって、$y' = 3x^2 - 8x = 3$ となる x を求める。

$3x^2 - 8x - 3 = 0$

$(3x + 1)(x - 3) = 0$

$x = 3, -\frac{1}{3}$

$x = 3$ は点 A の x 座標なので、求める点 B の x 座標は $x = -\frac{1}{3}$ である。

3. 最終的な答え

(1) $\ell$ の方程式: $y = 3x - 18$

(2) 点 B の x 座標: $-\frac{1}{3}$