$\int \sqrt{x} (\sqrt{x}+1)^2 dx$ を計算してください。

1. 問題の内容

$\int \sqrt{x} (\sqrt{x}+1)^2 dx$ を計算してください。

2. 解き方の手順

まず、$(\sqrt{x} + 1)^2$を展開します。

$(\sqrt{x} + 1)^2 = (\sqrt{x})^2 + 2\sqrt{x} + 1 = x + 2\sqrt{x} + 1$

次に、被積分関数を計算します。

$\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)^2 = \sqrt{x}(x + 2\sqrt{x} + 1) = x\sqrt{x} + 2x + \sqrt{x} = x^{3/2} + 2x + x^{1/2}$

積分を実行します。

$\int \sqrt{x} (\sqrt{x}+1)^2 dx = \int (x^{3/2} + 2x + x^{1/2}) dx = \int x^{3/2} dx + \int 2x dx + \int x^{1/2} dx$

各項を積分します。

$\int x^{3/2} dx = \frac{x^{5/2}}{5/2} = \frac{2}{5} x^{5/2}$

$\int 2x dx = x^2$

$\int x^{1/2} dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3} x^{3/2}$

積分結果をまとめます。

$\int \sqrt{x} (\sqrt{x}+1)^2 dx = \frac{2}{5} x^{5/2} + x^2 + \frac{2}{3} x^{3/2} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{5} x^{5/2} + x^2 + \frac{2}{3} x^{3/2} + C$