問題は以下の3つに分かれています。 1) $\frac{d}{dx} \left( \frac{x}{(1+x^2)^n} \right) = - \frac{2n-1}{(x^2+1)^n} + \frac{2n}{(x^2+1)^{n+1}} \quad (n \ge 1)$ を示す。 2) $I_n := \int \frac{dx}{(x^2+1)^n}$ とするとき、1)の結果を用いて $I_{n+1} = \frac{x}{2n(x^2+1)^n} + \frac{2n-1}{2n} I_n \quad (n \ge 1)$ を示す。 3) $J_n := \int_0^1 \frac{dx}{(x^2+1)^n}$ とするとき、$J_1, J_2$を求める。

1. 問題の内容

問題は以下の3つに分かれています。

1) $\frac{d}{dx} \left( \frac{x}{(1+x^2)^n} \right) = - \frac{2n-1}{(x^2+1)^n} + \frac{2n}{(x^2+1)^{n+1}} \quad (n \ge 1)$ を示す。

2) $I_n := \int \frac{dx}{(x^2+1)^n}$ とするとき、1)の結果を用いて $I_{n+1} = \frac{x}{2n(x^2+1)^n} + \frac{2n-1}{2n} I_n \quad (n \ge 1)$ を示す。

3) $J_n := \int_0^1 \frac{dx}{(x^2+1)^n}$ とするとき、$J_1, J_2$を求める。

2. 解き方の手順

1) 微分を実行して等式を証明する。

2) 1)の結果を積分して$I_{n+1}$の漸化式を導く。

3) $J_1$と$J_2$を計算する。$J_2$の計算には2)の結果を使う。

1)

$\frac{d}{dx} \left( \frac{x}{(1+x^2)^n} \right) = \frac{(1+x^2)^n - x \cdot n (1+x^2)^{n-1} \cdot 2x}{(1+x^2)^{2n}} = \frac{(1+x^2) - 2nx^2}{(1+x^2)^{n+1}} = \frac{1 + x^2 - 2nx^2}{(1+x^2)^{n+1}} = \frac{1 + (1-2n)x^2}{(1+x^2)^{n+1}}$

一方、

$- \frac{2n-1}{(x^2+1)^n} + \frac{2n}{(x^2+1)^{n+1}} = \frac{-(2n-1)(x^2+1) + 2n}{(x^2+1)^{n+1}} = \frac{-2nx^2 -2n + x^2 + 1 + 2n}{(x^2+1)^{n+1}} = \frac{(1-2n)x^2 + 1}{(x^2+1)^{n+1}}$

よって、

$\frac{d}{dx} \left( \frac{x}{(1+x^2)^n} \right) = - \frac{2n-1}{(x^2+1)^n} + \frac{2n}{(x^2+1)^{n+1}}$

2)

1) の結果を積分すると、

$\int \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{(1+x^2)^n} \right) dx = \int \left( - \frac{2n-1}{(x^2+1)^n} + \frac{2n}{(x^2+1)^{n+1}} \right) dx$

$\frac{x}{(1+x^2)^n} = -(2n-1) \int \frac{1}{(x^2+1)^n} dx + 2n \int \frac{1}{(x^2+1)^{n+1}} dx$

$\frac{x}{(1+x^2)^n} = -(2n-1) I_n + 2n I_{n+1}$

$2n I_{n+1} = \frac{x}{(1+x^2)^n} + (2n-1) I_n$

$I_{n+1} = \frac{x}{2n(x^2+1)^n} + \frac{2n-1}{2n} I_n$

3)

$J_n = \int_0^1 \frac{dx}{(x^2+1)^n}$

$J_1 = \int_0^1 \frac{dx}{x^2+1} = [\arctan x]_0^1 = \arctan 1 - \arctan 0 = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$

$I_1 = \int \frac{dx}{x^2+1} = \arctan x + C$

$I_2 = \int \frac{dx}{(x^2+1)^2}$

$I_{n+1} = \frac{x}{2n(x^2+1)^n} + \frac{2n-1}{2n} I_n$

$I_2 = \frac{x}{2(x^2+1)} + \frac{1}{2} I_1 = \frac{x}{2(x^2+1)} + \frac{1}{2} \arctan x + C$

$J_2 = \int_0^1 \frac{dx}{(x^2+1)^2} = \left[ \frac{x}{2(x^2+1)} + \frac{1}{2} \arctan x \right]_0^1 = \frac{1}{2(1+1)} + \frac{1}{2} \arctan 1 - (0+0) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{1}{4} + \frac{\pi}{8} = \frac{2+\pi}{8}$

3. 最終的な答え

$J_1 = \frac{\pi}{4}$

$J_2 = \frac{2+\pi}{8}$