与えられた複数の数学の問題を解く。問題は以下の通りである。 (1) ネイピア数 $e$ を小数で表し、小数第3位まで書く。 (2) 実数 $e^{-3}, 1, e^{1/2}, e^{-0.3}$ を小さい順に並べる。 (3) $\cos^{-1}(\cos(-\frac{\pi}{7}))$ の値を求める。 (4) 曲線 $2x^2 + 3y^2 = 18$ 上の点 $(\sqrt{3}, 2)$ における接線の方程式を求める。 (5) 関数 $\sin x$ の $n$ 階導関数を求める。 (6) 極限 $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2}$ を求める。 (7) $xyz$ 空間内の3点 $A = (-1, 0, 0)$, $B, C \in \mathbb{R}^3$ が $\overrightarrow{AB} = \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end{bmatrix}$, $\overrightarrow{AC} = \begin{bmatrix} 0 \\ -3 \\ 2 \end{bmatrix}$ を満たすとき、3点 $A, B, C$ を通る平面の方程式を求める。 (8) 関数 $f(x, y) = \tan^{-1} \frac{y}{x}$ を $x$ について偏微分する。 (9) $f(x, y) = x^3 + y^2$ とする。$\Delta$ をラプラシアンとするとき、$\Delta f$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた複数の数学の問題を解く。問題は以下の通りである。

(1) ネイピア数 $e$ を小数で表し、小数第3位まで書く。

(2) 実数 $e^{-3}, 1, e^{1/2}, e^{-0.3}$ を小さい順に並べる。

(3) $\cos^{-1}(\cos(-\frac{\pi}{7}))$ の値を求める。

(4) 曲線 $2x^2 + 3y^2 = 18$ 上の点 $(\sqrt{3}, 2)$ における接線の方程式を求める。

(5) 関数 $\sin x$ の $n$ 階導関数を求める。

(6) 極限 $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2}$ を求める。

(7) $xyz$ 空間内の3点 $A = (-1, 0, 0)$, $B, C \in \mathbb{R}^3$ が $\overrightarrow{AB} = \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end{bmatrix}$, $\overrightarrow{AC} = \begin{bmatrix} 0 \\ -3 \\ 2 \end{bmatrix}$ を満たすとき、3点 $A, B, C$ を通る平面の方程式を求める。

(8) 関数 $f(x, y) = \tan^{-1} \frac{y}{x}$ を $x$ について偏微分する。

(9) $f(x, y) = x^3 + y^2$ とする。$\Delta$ をラプラシアンとするとき、$\Delta f$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) ネイピア数 $e$ は約 2.71828 であるので、小数第3位まで書くと 2.718 となる。

(2) $e \approx 2.718$ より、

$e^{-3} \approx 0.0498$

$e^{1/2} = \sqrt{e} \approx \sqrt{2.718} \approx 1.649$

$e^{-0.3} \approx 0.7408$

よって、小さい順に $e^{-3}, e^{-0.3}, 1, e^{1/2}$ となる。

(3) $-\pi < -\frac{\pi}{7} < 0$ である。$\cos^{-1}$ の定義域は $[0, \pi]$ であるため、$\cos^{-1}(\cos(-\frac{\pi}{7})) = \cos^{-1}(\cos(\frac{\pi}{7})) = \frac{\pi}{7}$ となる。

(4) $2x^2 + 3y^2 = 18$ を微分すると、

$4x + 6y \frac{dy}{dx} = 0$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{4x}{6y} = -\frac{2x}{3y}$

点 $(\sqrt{3}, 2)$ における傾きは、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{2\sqrt{3}}{3(2)} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

接線の方程式は、

$y - 2 = -\frac{\sqrt{3}}{3}(x - \sqrt{3})$

$y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x + 1 + 2$

$y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x + 3$

$\sqrt{3}x + 3y = 9$

(5) $(\sin x)' = \cos x$

$(\sin x)'' = -\sin x$

$(\sin x)''' = -\cos x$

$(\sin x)'''' = \sin x$

したがって、$n$ 階導関数は、

$(\sin x)^{(n)} = \sin(x + \frac{n\pi}{2})$

(6) ロピタルの定理を使う。

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{2} = \frac{1}{2}$

(7) $\overrightarrow{AB} = \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end{bmatrix}$, $\overrightarrow{AC} = \begin{bmatrix} 0 \\ -3 \\ 2 \end{bmatrix}$

法線ベクトルは、

$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 0 \\ -3 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8(0) - 4(-3) \\ 4(0) - 3(2) \\ 3(-3) - 0(0) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12 \\ -6 \\ -9 \end{bmatrix}$

平面の方程式は、

$12(x + 1) - 6(y - 0) - 9(z - 0) = 0$

$12x + 12 - 6y - 9z = 0$

$4x - 2y - 3z + 4 = 0$

(8) $f(x, y) = \tan^{-1} \frac{y}{x}$

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{1 + (\frac{y}{x})^2} \cdot (-\frac{y}{x^2}) = \frac{x^2}{x^2 + y^2} \cdot (-\frac{y}{x^2}) = -\frac{y}{x^2 + y^2}$

(9) $f(x, y) = x^3 + y^2$

$\frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 6x$

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2y$

$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 2$

$\Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 6x + 2$

3. 最終的な答え

(1) 2.718

(2) $e^{-3}, e^{-0.3}, 1, e^{1/2}$

(3) $\frac{\pi}{7}$

(4) $\sqrt{3}x + 3y = 9$

(5) $\sin(x + \frac{n\pi}{2})$

(6) $\frac{1}{2}$

(7) $4x - 2y - 3z + 4 = 0$

(8) $-\frac{y}{x^2 + y^2}$

(9) $6x + 2$