(1) 関数 $ \frac{x}{(1+x^2)^n} $ の微分が与えられた式に等しいことを示す。 (2) $I_n = \int \frac{dx}{(x^2+1)^n}$ と定義する。 (1)の結果を用いて、$I_{n+1}$ を $I_n$ で表す漸化式を導出する。 (3) $J_n = \int_0^1 \frac{dx}{(x^2+1)^n}$ と定義する。$J_1$ と $J_2$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) 関数 $\frac{x}{(1+x^2)^n}$ の微分が与えられた式に等しいことを示す。

(2) $I_n = \int \frac{dx}{(x^2+1)^n}$ と定義する。 (1)の結果を用いて、$I_{n+1}$ を $I_n$ で表す漸化式を導出する。

(3) $J_n = \int_0^1 \frac{dx}{(x^2+1)^n}$ と定義する。$J_1$ と $J_2$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、与えられた関数 $\frac{x}{(1+x^2)^n}$ を微分します。積の微分公式と合成関数の微分公式を用います。

$\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{(1+x^2)^n}\right) = \frac{1 \cdot (1+x^2)^n - x \cdot n(1+x^2)^{n-1} \cdot 2x}{(1+x^2)^{2n}} = \frac{(1+x^2)^n - 2nx^2(1+x^2)^{n-1}}{(1+x^2)^{2n}}$

$= \frac{(1+x^2) - 2nx^2}{(1+x^2)^{n+1}} = \frac{1 + x^2 - 2nx^2}{(1+x^2)^{n+1}} = \frac{1 - (2n-1)x^2}{(1+x^2)^{n+1}}$

$= \frac{(1+x^2)(1 - (2n-1)x^2)}{(1+x^2)^{n+1}} = \frac{1 - (2n-1)x^2}{(1+x^2)^{n+1}}$

$\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{(1+x^2)^n}\right) = \frac{1 - (2n-1)x^2}{(1+x^2)^{n+1}} = \frac{1+x^2 - 2nx^2}{(1+x^2)^{n+1}}$

$= \frac{(2n-1)(1+x^2) - (2n-1) - 2nx^2}{(1+x^2)^{n+1}} = \frac{(2n-1)}{(1+x^2)^n} - \frac{(2n-1)(1+x^2) + 2nx^2}{(1+x^2)^{n+1}}$

ここで与えられた式は

$\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{(1+x^2)^n}\right) = - \frac{2n-1}{(x^2+1)^n} + \frac{2n}{(x^2+1)^{n+1}}$

を示せば良い。

左辺を計算すると、

$\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{(1+x^2)^n}\right) = \frac{(1+x^2)^n - x \cdot n (1+x^2)^{n-1} \cdot 2x}{(1+x^2)^{2n}} = \frac{(1+x^2)^n - 2nx^2(1+x^2)^{n-1}}{(1+x^2)^{2n}}$

$= \frac{(1+x^2) - 2nx^2}{(1+x^2)^{n+1}} = \frac{1 - (2n-1)x^2}{(1+x^2)^{n+1}} = \frac{2n}{(1+x^2)^{n+1}} - \frac{(2n-1)(1+x^2)}{(1+x^2)^{n+1}} = \frac{2n}{(1+x^2)^{n+1}} - \frac{2n-1}{(1+x^2)^{n}}$

(2) (1) の結果の両辺を積分する。

$\int \frac{d}{dx}\left(\frac{x}{(1+x^2)^n}\right) dx = \int \left( - \frac{2n-1}{(x^2+1)^n} + \frac{2n}{(x^2+1)^{n+1}} \right) dx$

$\frac{x}{(1+x^2)^n} = - (2n-1) \int \frac{1}{(x^2+1)^n} dx + 2n \int \frac{1}{(x^2+1)^{n+1}} dx$

$\frac{x}{(1+x^2)^n} = - (2n-1) I_n + 2n I_{n+1}$

$2n I_{n+1} = \frac{x}{(1+x^2)^n} + (2n-1) I_n$

$I_{n+1} = \frac{x}{2n(1+x^2)^n} + \frac{2n-1}{2n} I_n$

(3) $J_n = \int_0^1 \frac{dx}{(x^2+1)^n}$ を計算する。

$I_{n+1} = \frac{x}{2n(1+x^2)^n} + \frac{2n-1}{2n} I_n$

両辺を $0$ から $1$ まで積分する。

$\int_0^1 I_{n+1} dx = J_{n+1} = \left[ \frac{x}{2n(1+x^2)^n} \right]_0^1 + \frac{2n-1}{2n} \int_0^1 I_n dx$

$J_{n+1} = \frac{1}{2n(1+1^2)^n} - \frac{0}{2n(1+0^2)^n} + \frac{2n-1}{2n} J_n = \frac{1}{2n \cdot 2^n} + \frac{2n-1}{2n} J_n$

$J_1 = \int_0^1 \frac{dx}{x^2+1} = [\arctan x]_0^1 = \arctan 1 - \arctan 0 = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$

$J_2 = \frac{1}{2 \cdot 2^1} + \frac{2(1)-1}{2(1)} J_1 = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} J_1 = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{1}{4} + \frac{\pi}{8}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{(1+x^2)^n}\right) = - \frac{2n-1}{(x^2+1)^n} + \frac{2n}{(x^2+1)^{n+1}}$ (証明済み)

(2) $I_{n+1} = \frac{x}{2n(x^2+1)^n} + \frac{2n-1}{2n} I_n$

(3) $J_1 = \frac{\pi}{4}$, $J_2 = \frac{1}{4} + \frac{\pi}{8}$