ベクトル $\vec{A} = 2\vec{i} + 2\vec{j} + \vec{k}$, $\vec{B} = \vec{i} - 2\vec{j} + 3\vec{k}$, $\vec{C} = 3\vec{i} - 2\vec{j} + \vec{k}$ で表される位置ベクトルを持つ点A, B, Cを頂点とする三角形の面積を求めよ。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{A} = 2\vec{i} + 2\vec{j} + \vec{k}$, $\vec{B} = \vec{i} - 2\vec{j} + 3\vec{k}$, $\vec{C} = 3\vec{i} - 2\vec{j} + \vec{k}$ で表される位置ベクトルを持つ点A, B, Cを頂点とする三角形の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

三角形の面積は、ベクトル $\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ の外積の大きさの半分で求められる。

まず、ベクトル $\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ を求める。

$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (\vec{i} - 2\vec{j} + 3\vec{k}) - (2\vec{i} + 2\vec{j} + \vec{k}) = -\vec{i} - 4\vec{j} + 2\vec{k}$

$\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (3\vec{i} - 2\vec{j} + \vec{k}) - (2\vec{i} + 2\vec{j} + \vec{k}) = \vec{i} - 4\vec{j} + 0\vec{k}$

次に、$\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ の外積を求める。

$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix}

\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\

-1 & -4 & 2 \\

1 & -4 & 0

\end{vmatrix} = (0 - (-8))\vec{i} - (0 - 2)\vec{j} + (4 - (-4))\vec{k} = 8\vec{i} + 2\vec{j} + 8\vec{k}$

外積の大きさを求める。

$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{8^2 + 2^2 + 8^2} = \sqrt{64 + 4 + 64} = \sqrt{132} = 2\sqrt{33}$

三角形の面積は、外積の大きさの半分である。

面積 = $\frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{1}{2} (2\sqrt{33}) = \sqrt{33}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{33}$