直線 $l: y = -2x + 6$ と直線 $m: y = \frac{3}{4}x - 5$ がある。直線 $l$ と $m$ が $y$ 軸と交わる点をそれぞれ $A$, $B$ とし、2直線の交点を $P$ とする。 (1) 点 $P$ の座標を求めよ。 (2) 点 $P$ を通り、三角形 $PAB$ の面積を二等分する直線の式を求めよ。 (3) 直線 $m$ 上に、三角形 $PAB$ : 三角形 $PQA$ = 1 : 1 となる点 $Q$ をとるとき、点 $Q$ の座標を求めよ。

1. 問題の内容

直線 $l: y = -2x + 6$ と直線 $m: y = \frac{3}{4}x - 5$ がある。直線 $l$ と $m$ が $y$ 軸と交わる点をそれぞれ $A$, $B$ とし、2直線の交点を $P$ とする。

(1) 点 $P$ の座標を求めよ。

(2) 点 $P$ を通り、三角形 $PAB$ の面積を二等分する直線の式を求めよ。

(3) 直線 $m$ 上に、三角形 $PAB$ : 三角形 $PQA$ = 1 : 1 となる点 $Q$ をとるとき、点 $Q$ の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点 $P$ の座標は、2直線の交点であるから、連立方程式を解く。

$y = -2x + 6$

$y = \frac{3}{4}x - 5$

$-2x + 6 = \frac{3}{4}x - 5$

両辺に4をかけて

$-8x + 24 = 3x - 20$

$-11x = -44$

$x = 4$

$y = -2(4) + 6 = -8 + 6 = -2$

よって、点 $P$ の座標は $(4, -2)$。

(2) 点 $A$ の座標は $y = -2x + 6$ の $y$ 切片なので $(0, 6)$。

点 $B$ の座標は $y = \frac{3}{4}x - 5$ の $y$ 切片なので $(0, -5)$。

三角形 $PAB$ の面積を二等分する直線は、線分 $AB$ の中点を通る。

線分 $AB$ の中点の座標は $(\frac{0+0}{2}, \frac{6+(-5)}{2}) = (0, \frac{1}{2})$。

点 $P (4, -2)$ を通り、点 $(0, \frac{1}{2})$ を通る直線の式を求める。

傾きは $\frac{\frac{1}{2} - (-2)}{0 - 4} = \frac{\frac{5}{2}}{-4} = -\frac{5}{8}$。

よって、求める直線の式は $y = -\frac{5}{8}x + b$ と表せる。

点 $(0, \frac{1}{2})$ を通るので、$\frac{1}{2} = -\frac{5}{8}(0) + b$。

$b = \frac{1}{2}$

したがって、求める直線の式は $y = -\frac{5}{8}x + \frac{1}{2}$。

(3) $\triangle PAB : \triangle PQA = 1 : 1$ より、$\triangle PAB = \triangle PQA$。

これは、底辺を $PA$ と考えると、高さが等しいことを意味する。

つまり、点 $Q$ は、線分 $AB$ と平行な直線上にある。

$AB$ は $y$ 軸上にあるので、$PA$ を底辺としたときの高さは、点 $P$ の $x$ 座標の絶対値である。

よって、点 $Q$ は、点 $P$ の $x$ 座標が4であることから、点 $Q$ から $y$ 軸までの距離が 4 となる。

点 $Q$ は直線 $m$ 上にあるので、$Q(x, y)$ とおくと、

$y = \frac{3}{4}x - 5$

$\triangle PAB = \triangle PQA$ なので、$AB$ と $PQ$ が平行より、点 $Q$ の $x$ 座標と点 $P$ の $x$ 座標の差の絶対値が等しい。

点 $Q$ の $x$ 座標を $x$ とすると、$|x - 4| = 4$ より、$x = 8$ または $x = 0$。

$x = 0$ は点 $B$ に一致するので、$x = 8$。

$y = \frac{3}{4}(8) - 5 = 6 - 5 = 1$。

したがって、点 $Q$ の座標は $(8, 1)$。

3. 最終的な答え

(1) 点 $P$ の座標: $(4, -2)$

(2) 点 $P$ を通り、三角形 $PAB$ の面積を二等分する直線の式: $y = -\frac{5}{8}x + \frac{1}{2}$

(3) 点 $Q$ の座標: $(8, 1)$