問題X3：袋の中に1が4枚、2が2枚、3が1枚、4が1枚の計8枚のカードが入っている。この袋から同時に3枚のカードを取り出す。取り出した3枚のカードに書かれている数の最大値をM、最小値をmとし、$X = M - m$とする。ただし、取り出した3枚のカードの数がすべて同じときは$M = m$であり、$X = 0$とする。 (1) 1のカードを3枚取り出す確率を求めよ。 (2) $X = 3$となる確率を求めよ。 (3) Xの期待値を求めよ。 問題X4：Oを原点とする座標平面上に、円C: $x^2 + (y - a)^2 = 9$（aはa>3を満たす定数）があり、円Cの中心をAとする。原点Oから円Cに接線を引き、第1象限にある接点をBとするとOB=4である。 (1) 線分ABの長さを求めよ。また、aの値を求めよ。 (2) 直線OBの方程式を求めよ。また、点Bの座標を求めよ。 (3) 直線ABの方程式を$y = mx + n$(m, nは定数)とし、連立不等式 $y \geq mx + n$ $x^2 + (y - a)^2 \leq 9$ の表す領域をDとする。点(x, y) が領域D内を動くとき、$2x + y$の最小値を求めよ。

はい、承知いたしました。数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

問題X3：袋の中に1が4枚、2が2枚、3が1枚、4が1枚の計8枚のカードが入っている。この袋から同時に3枚のカードを取り出す。取り出した3枚のカードに書かれている数の最大値をM、最小値をmとし、$X = M - m$とする。ただし、取り出した3枚のカードの数がすべて同じときは$M = m$であり、$X = 0$とする。

(1) 1のカードを3枚取り出す確率を求めよ。

(2) $X = 3$となる確率を求めよ。

(3) Xの期待値を求めよ。

問題X4：Oを原点とする座標平面上に、円C: $x^2 + (y - a)^2 = 9$（aはa>3を満たす定数）があり、円Cの中心をAとする。原点Oから円Cに接線を引き、第1象限にある接点をBとするとOB=4である。

(1) 線分ABの長さを求めよ。また、aの値を求めよ。

(2) 直線OBの方程式を求めよ。また、点Bの座標を求めよ。

(3) 直線ABの方程式を$y = mx + n$(m, nは定数)とし、連立不等式

$y \geq mx + n$

$x^2 + (y - a)^2 \leq 9$

の表す領域をDとする。点(x, y) が領域D内を動くとき、$2x + y$の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

問題X3

(1) 1のカードを3枚取り出す確率

1のカードは4枚あるので、8枚から3枚を取り出す場合の数に対する、1のカード4枚から3枚を取り出す場合の数の割合が求める確率です。

$\frac{{}_4C_3}{{}_8C_3} = \frac{4}{\frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1}} = \frac{4}{56} = \frac{1}{14}$

(2) $X = 3$となる確率

$X=3$となるのは、(M, m) = (4, 1)の場合のみです。

(4, 1)となるのは、4が1枚、1が2枚出る場合と、4が1枚、1が3枚出る場合がある。

4が1枚、1が2枚出る確率: $\frac{{}_1C_1 \times {}_4C_2}{{}_8C_3} = \frac{1 \times 6}{56} = \frac{6}{56}$

4が1枚、1が3枚出る確率: $\frac{{}_1C_1 \times {}_4C_3}{{}_8C_3} = \frac{1 \times 4}{56} = \frac{4}{56}$

したがって、X = 3となる確率は、

$\frac{6}{56} + \frac{4}{56} = \frac{10}{56} = \frac{5}{28}$

(3) Xの期待値

Xの取りうる値は0, 1, 2, 3。

X = 0となるのは、3枚とも同じ数字の時。

3枚とも1の場合：確率は$\frac{1}{14}$

3枚とも2の場合：確率は$\frac{{}_2C_3}{{}_8C_3} = 0$

他に3枚とも同じ数字になることはない。

X = 1となるのは、(M, m) = (2, 1)または(3, 2)または(4, 3)。

(2, 1) : $\frac{{}_2C_1 \times {}_4C_2}{{}_8C_3} + \frac{{}_2C_2 \times {}_4C_1}{{}_8C_3} = \frac{2 \times 6}{56} + \frac{1 \times 4}{56} = \frac{12+4}{56} = \frac{16}{56}$

(3, 2) : $\frac{{}_1C_1 \times {}_2C_2}{{}_8C_3} = \frac{1}{56}$

(4, 3) : $\frac{{}_1C_1 \times {}_1C_2}{{}_8C_3} = 0$

X = 2となるのは、(M, m) = (3, 1)または(4, 2)。

(3, 1):$\frac{{}_1C_1 \times {}_4C_2}{{}_8C_3} = \frac{6}{56}$

(4, 2):$\frac{{}_1C_1 \times {}_2C_2}{{}_8C_3} = \frac{1}{56}$

合計$\frac{7}{56}$

Xの期待値：$0 \times \frac{1}{14} + 1 \times \frac{16+1}{56} + 2 \times \frac{7}{56} + 3 \times \frac{10}{56} = \frac{17 + 14 + 30}{56} = \frac{61}{56}$

問題X4

(1) 線分ABの長さを求めよ。また、aの値を求めよ。

ABは円Cの半径なので、AB = 3。

OA = $\sqrt{OB^2 + AB^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$

また、Aの座標は(0, a)なので、$OA = |a|$。

$a > 3$より、$a = 5$

(2) 直線OBの方程式を求めよ。また、点Bの座標を求めよ。

直線OBは原点を通るので、y = kxとおける。

OB = 4なので、$B(4\cos{\theta}, 4\sin{\theta})$とおける。

直線OAとOBは垂直なので、傾きの積が-1となる。

$\frac{a}{0} \times k = -1$なので、傾きは求められない。

直線OBの方程式は、y = kx。

円Cの中心(0, 5)と直線y = kxの距離は3。

$\frac{|-5|}{\sqrt{1+k^2}} = 3$

$\frac{25}{1+k^2} = 9$

$25 = 9(1+k^2)$

$25 = 9 + 9k^2$

$16 = 9k^2$

$k^2 = \frac{16}{9}$

$k = \frac{4}{3}$

したがって、直線OBの方程式は、$y = \frac{4}{3}x$

点Bの座標は、$x^2 + (y - 5)^2 = 9$と$y = \frac{4}{3}x$の交点。

$x^2 + (\frac{4}{3}x - 5)^2 = 9$

$x^2 + \frac{16}{9}x^2 - \frac{40}{3}x + 25 = 9$

$9x^2 + 16x^2 - 120x + 225 = 81$

$25x^2 - 120x + 144 = 0$

$(5x - 12)^2 = 0$

$x = \frac{12}{5}$

$y = \frac{4}{3} \times \frac{12}{5} = \frac{16}{5}$

点Bの座標は$(\frac{12}{5}, \frac{16}{5})$

(3) 直線ABの方程式を$y = mx + n$(m, nは定数)とし、連立不等式

$y \geq mx + n$

$x^2 + (y - a)^2 \leq 9$

の表す領域をDとする。点(x, y) が領域D内を動くとき、$2x + y$の最小値を求めよ。

ABは点A(0,5)と点B(12/5, 16/5)を通るので、

傾きは$\frac{\frac{16}{5} - 5}{\frac{12}{5} - 0} = \frac{\frac{16-25}{5}}{\frac{12}{5}} = \frac{-9}{12} = -\frac{3}{4}$

したがって、$y = -\frac{3}{4}x + 5$

$y \geq -\frac{3}{4}x + 5$

$x^2 + (y - 5)^2 \leq 9$

$2x + y = k$とおくと、$y = -2x + k$。

$y \geq -\frac{3}{4}x + 5$より、直線$y = -\frac{3}{4}x + 5$の下側

$x^2 + (y - 5)^2 \leq 9$より、円の内側

$y = -2x + k$と円の交点を考える。

$x^2 + (-2x + k - 5)^2 = 9$

3. 最終的な答え

問題X3

(1) 1/14

(2) 5/28

(3) 61/56

問題X4

(1) AB = 3, a = 5

(2) $y = \frac{4}{3}x$, $(\frac{12}{5}, \frac{16}{5})$

(3) y = -3/4x + 5, 2x+yの最小値は計算中