放物線 $G: x^2 - 2ax + a^2 + a$ があり、その頂点の座標が $(2, 2)$ である放物線を $G_1$ とします。 (1) $G$ の頂点の座標が $(2, 2)$ であるとき、$a$ の値を求めます。 (2) (i) $G_1$ を $y$ 軸に関して対称移動した放物線を $C_1$ とするとき、$C_1$ の方程式を求めます。 (ii) $G_1$ を原点に関して対称移動した放物線を $C_2$ とするとき、$C_2$ の方程式を求めます。 (3) 3つの放物線 $G_1$, $C_1$, $C_2$ の頂点をそれぞれ $A$, $B$, $C$ とします。 (i) $G$ が点 $B$ を通るときの $a$ の値を求めます。 (ii) $a \geq -2$ とするとき、$G$ と三角形 $ABC$ の周の共有点の個数を $a$ の値で分類して求めます。

はい、承知しました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

放物線 $G: x^2 - 2ax + a^2 + a$ があり、その頂点の座標が $(2, 2)$ である放物線を $G_1$ とします。

(1) $G$ の頂点の座標が $(2, 2)$ であるとき、$a$ の値を求めます。

(2) (i) $G_1$ を $y$ 軸に関して対称移動した放物線を $C_1$ とするとき、$C_1$ の方程式を求めます。

(ii) $G_1$ を原点に関して対称移動した放物線を $C_2$ とするとき、$C_2$ の方程式を求めます。

(3) 3つの放物線 $G_1$, $C_1$, $C_2$ の頂点をそれぞれ $A$, $B$, $C$ とします。

(i) $G$ が点 $B$ を通るときの $a$ の値を求めます。

(ii) $a \geq -2$ とするとき、$G$ と三角形 $ABC$ の周の共有点の個数を $a$ の値で分類して求めます。

2. 解き方の手順

(1)

放物線 $G$ を平方完成します。

$G: x^2 - 2ax + a^2 + a = (x - a)^2 + a$

よって、$G$ の頂点の座標は $(a, a)$ となります。

これが $(2, 2)$ に等しいので、$a = 2$ となります。

(2) (i)

$G_1$ は $G$ で $a=2$ のときなので、$G_1: (x - 2)^2 + 2$ です。

$G_1$ を $y$ 軸に関して対称移動した放物線 $C_1$ は、$x$ を $-x$ に置き換えることで得られます。

$C_1: (-x - 2)^2 + 2 = (x + 2)^2 + 2$

(ii)

$G_1$ を原点に関して対称移動した放物線 $C_2$ は、$x$ を $-x$, $y$ を $-y$ に置き換えることで得られます。

$-y = (-x - 2)^2 + 2$

$y = -(x + 2)^2 - 2$

$C_2: y = -(x + 2)^2 - 2$

(3) (i)

$A$ は $G_1$ の頂点なので、$A(2, 2)$ です。

$B$ は $C_1$ の頂点なので、$B(-2, 2)$ です。

$G: (x - a)^2 + a$ が点 $B(-2, 2)$ を通るので、

$2 = (-2 - a)^2 + a$

$2 = 4 + 4a + a^2 + a$

$a^2 + 5a + 2 = 0$

$a = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 8}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{17}}{2}$

(ii)

$C$ は $C_2$ の頂点なので、$C(-2, -2)$ です。

$A(2, 2)$, $B(-2, 2)$, $C(-2, -2)$ です。

三角形 $ABC$ は、$AB$ が $x$ 軸に平行な直線 $y = 2$ 上にあり、$BC$ が $x = -2$ 上にある直角三角形です。

$G: y = (x-a)^2 + a$, $a \geq -2$

$G$ と $AB$ の交点：$y = 2$ より、$(x-a)^2 + a = 2$

$(x-a)^2 = 2-a$

$x = a \pm \sqrt{2-a}$

$a \geq -2$ より、$2-a \leq 4$ なので、$x = a \pm \sqrt{2-a}$ が実数解を持つためには $2-a \geq 0$, つまり $a \leq 2$ が必要です。

$G$ と $BC$ の交点：$x = -2$ より、$y = (-2 - a)^2 + a = a^2 + 5a + 4$

$BC$ 上の点の条件は、$y$ が $-2 \leq y \leq 2$ を満たすことなので、

$-2 \leq a^2 + 5a + 4 \leq 2$

共有点の個数について、$a$ の値で場合分けします。

(i) $a < -4$: $G$ と $AB$ の交点なし, $G$ と $BC$ の交点なし。$G$ と $AC$ の交点なし。共有点は0個。

(ii) $a = -4$: $G$ と $AB$ の交点なし, $G$ と $BC$ の交点1個。$G$ と $AC$ の交点なし。共有点は1個。

(iii) $-4 < a < 2$: $G$ と $AB$ の交点0個、$G$ と $BC$ の交点2個. $G$ と $AC$ の交点なし。共有点は2個。

(iv) $a = 2$: $G$ と $AB$ の交点1個、$G$ と $BC$ の交点1個。$G$ と $AC$ の交点なし。共有点は2個。

(v) $a > 2$: $G$ と $AB$ の交点なし、$G$ と $BC$ の交点0個。$G$ と $AC$ の交点なし。共有点は0個。

3. 最終的な答え

(1) $a = 2$

(2) (i) $C_1: y = (x + 2)^2 + 2$

(ii) $C_2: y = -(x + 2)^2 - 2$

(3) (i) $a = \frac{-5 \pm \sqrt{17}}{2}$

(ii)

$a < -4$ または $a > 2$: 0個

$a = -4$ または $a = 2$: 1個

$-4 < a \leq 2$：2個