2次方程式 $x^2 + 8x + a = 0$ の解の一つが $-4 - \sqrt{7}$ であるとき、$a$ の値を求め、もう一つの解を求める。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 8x + a = 0$ の解の一つが $-4 - \sqrt{7}$ であるとき、$a$ の値を求め、もう一つの解を求める。

2. 解き方の手順

解の一つが $-4 - \sqrt{7}$ であることを利用して、$a$ の値を求める。

$x^2 + 8x + a = 0$ に $x = -4 - \sqrt{7}$ を代入する。

$(-4 - \sqrt{7})^2 + 8(-4 - \sqrt{7}) + a = 0$

$(16 + 8\sqrt{7} + 7) - 32 - 8\sqrt{7} + a = 0$

$23 + 8\sqrt{7} - 32 - 8\sqrt{7} + a = 0$

$-9 + a = 0$

$a = 9$

したがって、与えられた2次方程式は $x^2 + 8x + 9 = 0$ となる。

解の公式を用いると、

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$x = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4(1)(9)}}{2(1)}$

$x = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 36}}{2}$

$x = \frac{-8 \pm \sqrt{28}}{2}$

$x = \frac{-8 \pm 2\sqrt{7}}{2}$

$x = -4 \pm \sqrt{7}$

解の一つは $-4 - \sqrt{7}$ であり、もう一つの解は $-4 + \sqrt{7}$ である。

3. 最終的な答え

$a = 9$

もう一つの解は $-4 + \sqrt{7}$