$\sqrt{11 - 4\sqrt{6}}$ を簡単にしてください。

1. 問題の内容

$\sqrt{11 - 4\sqrt{6}}$ を簡単にしてください。

2. 解き方の手順

二重根号を外すことを考えます。

$\sqrt{a - \sqrt{b}}$ の形をしているので、$x+y = a$ かつ $xy = (\frac{b}{4})$ となる $x, y$ を探します。

この場合、$a = 11$、$b = (4\sqrt{6})^2 = 16 \cdot 6 = 96$ です。

したがって、$x+y=11$、$xy = \frac{96}{4} = 24$ を満たす $x, y$ を探します。

$x$ と $y$ は、$t^2 - 11t + 24 = 0$ の解です。

この二次方程式を解くと、

$(t-3)(t-8) = 0$

より、$t = 3, 8$ となります。

よって、$x = 8$, $y = 3$ とおくと、

$\sqrt{11 - 4\sqrt{6}} = \sqrt{8} - \sqrt{3}$ となります。

$\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ なので、

$\sqrt{11 - 4\sqrt{6}} = 2\sqrt{2} - \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$2\sqrt{2} - \sqrt{3}$