問題3：$x = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ のとき、次の式の値を求める。 (1) $x + \frac{1}{x}$ (2) $x^2 + \frac{1}{x^2}$

1. 問題の内容

問題3：$x = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ のとき、次の式の値を求める。

(1) $x + \frac{1}{x}$

(2) $x^2 + \frac{1}{x^2}$

2. 解き方の手順

(1) $x + \frac{1}{x}$ を求める。

まず、$\frac{1}{x}$ を計算する。

$\frac{1}{x} = \frac{1}{\frac{\sqrt{5} + 1}{2}} = \frac{2}{\sqrt{5} + 1}$

分母を有理化するために、分子と分母に $\sqrt{5} - 1$ をかける。

$\frac{2}{\sqrt{5} + 1} = \frac{2(\sqrt{5} - 1)}{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1)} = \frac{2(\sqrt{5} - 1)}{5 - 1} = \frac{2(\sqrt{5} - 1)}{4} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

したがって、

$x + \frac{1}{x} = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} + \frac{\sqrt{5} - 1}{2} = \frac{\sqrt{5} + 1 + \sqrt{5} - 1}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}$

(2) $x^2 + \frac{1}{x^2}$ を求める。

$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2(x)(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x^2} = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$

したがって、$x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2$

(1)で、$x + \frac{1}{x} = \sqrt{5}$ を求めたので、

$x^2 + \frac{1}{x^2} = (\sqrt{5})^2 - 2 = 5 - 2 = 3$

3. 最終的な答え

(1) $x + \frac{1}{x} = \sqrt{5}$

(2) $x^2 + \frac{1}{x^2} = 3$