$\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\varphi & 0 & -\sin\varphi \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin\varphi & 0 & \cos\varphi \end{pmatrix}$

代数学行列行列の積回転行列行列式余因子行列行列の簡約化
2025/7/13
## 問題の回答
以下に、画像に示された数学の問題を解答します。
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1. 問題の内容

1. **(1)** 行列の積を計算する。

(cosθsinθ0sinθcosθ0001)(cosφ0sinφ010sinφ0cosφ)\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\varphi & 0 & -\sin\varphi \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin\varphi & 0 & \cos\varphi \end{pmatrix}

2. **(2)** 行列 $A = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$ に対して、$A^{2023}$ を計算する。

3. **(3)** $\cosh\varphi = \frac{e^{\varphi} + e^{-\varphi}}{2}$, $\sinh\varphi = \frac{e^{\varphi} - e^{-\varphi}}{2}$ と定義されるとき、

(coshφsinhφsinhφcoshφ)(coshφsinhφ)\begin{pmatrix} \cosh\varphi & \sinh\varphi \\ \sinh\varphi & \cosh\varphi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cosh\varphi \\ \sinh\varphi \end{pmatrix} を計算する。

4. **(4)** **(1)** で定義される行列式の値を求める。

5. **(5)** **(1)** で定義される行列の余因子行列を求める。

6. **2.** 与えられた行列を簡約化する。

(31794102351144721566)\begin{pmatrix} 3 & 1 & 7 & 9 & 4 \\ -1 & 0 & -2 & -3 & 5 \\ 1 & 1 & 4 & 4 & 7 \\ -2 & -1 & -5 & -6 & 6 \end{pmatrix}
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2. 解き方の手順

1. **(1)** 行列の積を計算します。

(cosθsinθ0sinθcosθ0001)(cosφ0sinφ010sinφ0cosφ)=(cosθcosφsinθcosθsinφsinθcosφcosθsinθsinφsinφ0cosφ)\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\varphi & 0 & -\sin\varphi \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin\varphi & 0 & \cos\varphi \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta\cos\varphi & -\sin\theta & -\cos\theta\sin\varphi \\ \sin\theta\cos\varphi & \cos\theta & -\sin\theta\sin\varphi \\ \sin\varphi & 0 & \cos\varphi \end{pmatrix}

2. **(2)** 行列 $A = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$ は回転行列であり、$A = \begin{pmatrix} \cos(\pi/3) & -\sin(\pi/3) \\ \sin(\pi/3) & \cos(\pi/3) \end{pmatrix}$ と表せる。したがって、$A^n = \begin{pmatrix} \cos(n\pi/3) & -\sin(n\pi/3) \\ \sin(n\pi/3) & \cos(n\pi/3) \end{pmatrix}$。$n = 2023$ のとき、 $2023\pi/3 = (674 + 1/3)\pi$。よって、 $A^{2023} = \begin{pmatrix} \cos(\pi/3) & -\sin(\pi/3) \\ \sin(\pi/3) & \cos(\pi/3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$。

3. **(3)** $\begin{pmatrix} \cosh\varphi & \sinh\varphi \\ \sinh\varphi & \cosh\varphi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cosh\varphi \\ \sinh\varphi \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cosh^2\varphi + \sinh^2\varphi \\ \sinh\varphi\cosh\varphi + \cosh\varphi\sinh\varphi \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cosh(2\varphi) \\ \sinh(2\varphi) \end{pmatrix}$

ただし、 cosh2φ+sinh2φ=cosh(2φ)\cosh^2\varphi + \sinh^2\varphi = \cosh(2\varphi) および 2sinhφcoshφ=sinh(2φ)2\sinh\varphi\cosh\varphi = \sinh(2\varphi) を使用した。

4. **(4)** (1)の行列式は、 $\cos\theta\cos\varphi\cdot(\cos\theta\cos\varphi) - \cos\theta\sin\varphi\cdot(-\cos\theta\sin\varphi) + (-\sin\theta)\cdot(-\sin\theta) = \cos^2\theta\cos^2\varphi + \cos^2\theta\sin^2\varphi + \sin^2\theta = \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$。

5. **(5)** (1)の行列の余因子行列を求める。

余因子行列とは、各要素を余因子に置き換えた行列の転置行列です。
まず、(1)の行列をMとします。
M=(cosθsinθ0sinθcosθ0001)(cosφ0sinφ010sinφ0cosφ)=(cosθcosφsinθcosθsinφsinθcosφcosθsinθsinφsinφ0cosφ)M = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\varphi & 0 & -\sin\varphi \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin\varphi & 0 & \cos\varphi \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta\cos\varphi & -\sin\theta & -\cos\theta\sin\varphi \\ \sin\theta\cos\varphi & \cos\theta & -\sin\theta\sin\varphi \\ \sin\varphi & 0 & \cos\varphi \end{pmatrix}
Mの余因子行列を求めるには、各要素の余因子を計算する必要があります。
余因子行列は、転置行列を取ることにより求めることができます。
余因子行列は以下のようになります:
(cosθcosφsinθcosφsinφsinθcosθ0cosθsinφsinθsinφcosφ)\begin{pmatrix} \cos\theta\cos\varphi & \sin\theta\cos\varphi & \sin\varphi \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 \\ -\cos\theta\sin\varphi & -\sin\theta\sin\varphi & \cos\varphi \end{pmatrix}

6. **2.** 与えられた行列を簡約化する。簡約化とは行基本変形を行って階段行列に変形することです。

(31794102351144721566)\begin{pmatrix} 3 & 1 & 7 & 9 & 4 \\ -1 & 0 & -2 & -3 & 5 \\ 1 & 1 & 4 & 4 & 7 \\ -2 & -1 & -5 & -6 & 6 \end{pmatrix}
(1) 1行目と3行目を入れ替える
(11447102353179421566)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 4 & 4 & 7 \\ -1 & 0 & -2 & -3 & 5 \\ 3 & 1 & 7 & 9 & 4 \\ -2 & -1 & -5 & -6 & 6 \end{pmatrix}
(2) 2行目に1行目を足す、3行目から1行目の3倍を引く、4行目に1行目の2倍を足す
(11447012112025317013220)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 4 & 4 & 7 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & 12 \\ 0 & -2 & -5 & -3 & -17 \\ 0 & 1 & 3 & 2 & 20 \end{pmatrix}
(3) 3行目に2行目の2倍を足す、4行目から2行目を引く
(114470121120011700118)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 4 & 4 & 7 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & 12 \\ 0 & 0 & -1 & -1 & 7 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 8 \end{pmatrix}
(4) 4行目に3行目を足す
(1144701211200117000015)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 4 & 4 & 7 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & 12 \\ 0 & 0 & -1 & -1 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 15 \end{pmatrix}
(5) 4行目を15で割る
(114470121120011700001)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 4 & 4 & 7 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & 12 \\ 0 & 0 & -1 & -1 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
(6) 1行目から4行目の7倍を引く、2行目から4行目の12倍を引く、3行目から4行目の7倍を引く
(11440012100011000001)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 4 & 4 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
(7) 1行目から2行目を引く
(10230012100011000001)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
(8) 3行目に-1をかける
(10230012100011000001)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
(9) 1行目から3行目の2倍を引く、2行目から3行目の2倍を引く
(10010010100011000001)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
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3. 最終的な答え

1. **(1)** $\begin{pmatrix} \cos\theta\cos\varphi & -\sin\theta & -\cos\theta\sin\varphi \\ \sin\theta\cos\varphi & \cos\theta & -\sin\theta\sin\varphi \\ \sin\varphi & 0 & \cos\varphi \end{pmatrix}$

2. **(2)** $\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$

3. **(3)** $\begin{pmatrix} \cosh(2\varphi) \\ \sinh(2\varphi) \end{pmatrix}$

4. **(4)** 1

5. **(5)** $\begin{pmatrix} \cos\theta\cos\varphi & \sin\theta\cos\varphi & \sin\varphi \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 \\ -\cos\theta\sin\varphi & -\sin\theta\sin\varphi & \cos\varphi \end{pmatrix}$

6. **2.** $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

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