$\frac{4}{\sqrt{5}-1}$ の整数部分 $a$ と小数部分 $b$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\frac{4}{\sqrt{5}-1}$ の整数部分 $a$ と小数部分 $b$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、分母を有理化します。

$\frac{4}{\sqrt{5}-1} = \frac{4(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)} = \frac{4(\sqrt{5}+1)}{5-1} = \frac{4(\sqrt{5}+1)}{4} = \sqrt{5}+1$

ここで、$2 < \sqrt{5} < 3$ であるから、$3 < \sqrt{5}+1 < 4$ であることがわかります。

より正確な範囲を求めるために、$2.2^2 = 4.84$ および $2.3^2 = 5.29$ より、$2.2 < \sqrt{5} < 2.3$ であることがわかります。

したがって、$3.2 < \sqrt{5}+1 < 3.3$ となります。

よって、$\sqrt{5}+1$ の整数部分は $3$ であり、小数部分は $(\sqrt{5}+1)-3 = \sqrt{5}-2$ となります。

3. 最終的な答え

整数部分 $a = 3$

小数部分 $b = \sqrt{5}-2$