問題は、$\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}$ を計算し、分母を有理化することです。

1. 問題の内容

問題は、$\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}$ を計算し、分母を有理化することです。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{18}$ を簡単にします。

$\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = \sqrt{9} \times \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$

したがって、与えられた式は

$\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}$

次に、分母を有理化します。分母の共役である $\sqrt{5}-\sqrt{2}$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{(\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{5}-\sqrt{2})}$

分子を展開します。

$3\sqrt{2}(\sqrt{5}-\sqrt{2}) = 3\sqrt{10} - 3\sqrt{4} = 3\sqrt{10} - 3 \times 2 = 3\sqrt{10} - 6$

分母を展開します。（和と差の積の公式を利用します: $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$）

$(\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{5}-\sqrt{2}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2 = 5 - 2 = 3$

したがって、

$\frac{3\sqrt{10} - 6}{3} = \frac{3(\sqrt{10} - 2)}{3} = \sqrt{10} - 2$

3. 最終的な答え

$\sqrt{10} - 2$