ある数に対し、以下の操作を繰り返す。 - 1桁のとき: その数の2乗を計算する。 - 2桁のとき: (十の位の数)$^2$ + (一の位の数)$^2$ を計算する。 - 3桁のとき: (百の位の数)$^2$ + (十の位の数)$^2$ + (一の位の数)$^2$ を計算する。 最初の数が9のとき、2025回目の操作の結果求まる数は何か。

1. 問題の内容

ある数に対し、以下の操作を繰り返す。

- 1桁のとき: その数の2乗を計算する。

- 2桁のとき: (十の位の数)$^2$ + (一の位の数)$^2$ を計算する。

- 3桁のとき: (百の位の数)$^2$ + (十の位の数)$^2$ + (一の位の数)$^2$ を計算する。

最初の数が9のとき、2025回目の操作の結果求まる数は何か。

2. 解き方の手順

まず、最初の数が9の場合に、操作を繰り返してどのような数列になるか調べる。

1回目: $9^2 = 81$

2回目: $8^2 + 1^2 = 64 + 1 = 65$

3回目: $6^2 + 5^2 = 36 + 25 = 61$

4回目: $6^2 + 1^2 = 36 + 1 = 37$

5回目: $3^2 + 7^2 = 9 + 49 = 58$

6回目: $5^2 + 8^2 = 25 + 64 = 89$

7回目: $8^2 + 9^2 = 64 + 81 = 145$

8回目: $1^2 + 4^2 + 5^2 = 1 + 16 + 25 = 42$

9回目: $4^2 + 2^2 = 16 + 4 = 20$

10回目: $2^2 + 0^2 = 4 + 0 = 4$

11回目: $4^2 = 16$

12回目: $1^2 + 6^2 = 1 + 36 = 37$

ここで、4回目の操作の結果が37であり、12回目の操作の結果も37であることから、37, 58, 89, 145, 42, 20, 4, 16の8つの数が循環することがわかる。

したがって、2025回目の操作の結果を求めるには、まず3回目から2025回目までの2022回の操作でどのような数が求まるか調べる。

2022を8で割った余りは、

$2022 = 8 \times 252 + 6$

であるから、2025回目の操作の結果は、3回目から数えて6番目の数である。

数列の6番目の数は89である。

3. 最終的な答え

89