1円, 3円, 5円, 7円, 9円, 11円,...という奇数の額面のコインがたくさんあるとき, $n$ 円を支払うためのコインの組み合わせの総数を$OP_n$で表します。$OP_5 = 3$のとき、$OP_{12}$を求めなさい。

1. 問題の内容

1円, 3円, 5円, 7円, 9円, 11円,...という奇数の額面のコインがたくさんあるとき, $n$ 円を支払うためのコインの組み合わせの総数を$OP_n$で表します。$OP_5 = 3$のとき、$OP_{12}$を求めなさい。

2. 解き方の手順

$OP_{12}$ は12円を奇数金額のコインで支払う組み合わせの総数を求める問題です。

以下に12円を支払うすべての組み合わせを列挙します。

* 12円 = 1円 x 12 (1円玉を12枚使う)

* 12円 = 1円 x 9 + 3円 x 1 (1円玉を9枚と3円玉を1枚使う)

* 12円 = 1円 x 6 + 3円 x 2 (1円玉を6枚と3円玉を2枚使う)

* 12円 = 1円 x 3 + 3円 x 3 (1円玉を3枚と3円玉を3枚使う)

* 12円 = 3円 x 4 (3円玉を4枚使う)

* 12円 = 1円 x 7 + 5円 x 1 (1円玉を7枚と5円玉を1枚使う)

* 12円 = 1円 x 4 + 5円 x 1 + 3円 x 1 (1円玉を4枚、5円玉を1枚、3円玉を1枚使う)

* 12円 = 1円 x 1 + 5円 x 1 + 3円 x 2 (1円玉を1枚、5円玉を1枚、3円玉を2枚使う)

* 12円 = 1円 x 5 + 7円 x 1 (1円玉を5枚、7円玉を1枚使う)

* 12円 = 1円 x 2 + 7円 x 1 + 3円 x 1 (1円玉を2枚、7円玉を1枚、3円玉を1枚使う)

* 12円 = 5円 x 1 + 7円 x 1 (5円玉と7円玉をそれぞれ1枚使う)

* 12円 = 1円 x 3 + 9円 x 1 (1円玉を3枚、9円玉を1枚使う)

* 12円 = 3円 x 1 + 9円 x 1 (3円玉と9円玉をそれぞれ1枚使う)

* 12円 = 1円 x 1 + 11円 x 1 (1円玉を1枚、11円玉を1枚使う)

したがって、$OP_{12} = 14$ となります。

3. 最終的な答え

14