4桁の数ABCDをCADBと入れ替える操作を「シャッフル」と定義します。4321を2025回シャッフルして得られる2025個の数の合計を求めます。

1. 問題の内容

4桁の数ABCDをCADBと入れ替える操作を「シャッフル」と定義します。4321を2025回シャッフルして得られる2025個の数の合計を求めます。

2. 解き方の手順

まず、シャッフル操作を繰り返すと、元の数に戻るまでの回数を調べます。

4321をシャッフルすると、以下のようになります。

1回目: 2413

2回目: 1234

3回目: 3142

4回目: 4321

したがって、4回シャッフルすると元の数に戻ります。

2025を4で割ると、

$2025 = 4 \times 506 + 1$

つまり、2025回シャッフルした結果は、1回シャッフルした結果と同じになります。

4321を何回かシャッフルして得られる数は以下の通りです。

0回: 4321

1回: 2413

2回: 1234

3回: 3142

この4つの数を合計します。

$4321 + 2413 + 1234 + 3142 = 11110$

2025回シャッフルしてできる数は、上記４つの数が繰り返し現れます。

2025回シャッフルしてできる2025個の数を足すということは、4つの数のセットが506個と、さらに1個の数が足されることになります。具体的には、

$2025 = 4 \times 506 + 1$なので、

$506 \times 11110 + 2413 = 5621660 + 2413 = 5624073$

しかし、問題文は4321を2025回シャッフルしてできる2025個の数を全て足すとあるので、

4321を0回シャッフルしたもの、1回シャッフルしたもの、…、2024回シャッフルしたものを全て足す必要があります。

シャッフルを4回繰り返すと元の数に戻るので、4つの数のセットが506個と、残りの1個です。

$4321 + 2413 + 1234 + 3142 = 11110$

$2025 = 506 \times 4 + 1$

したがって、求める和は、

$506 \times (4321 + 2413 + 1234 + 3142) + 4321 = 506 \times 11110 + 4321 = 5621660 + 4321 = 5625981$

3. 最終的な答え

5625981