与えられた分数の式 $\frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}$ を計算し、最も簡単な形で表す問題です。

1. 問題の内容

与えられた分数の式 $\frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}$ を計算し、最も簡単な形で表す問題です。

2. 解き方の手順

分母に無理数が含まれているので、分母を有理化する必要があります。

分母の共役な複素数（ここでは $\sqrt{5} - \sqrt{2}$）を分母と分子の両方に掛けます。

$\frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{(\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{5} - \sqrt{2})}$

次に、分子と分母を展開します。

分子: $(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} - \sqrt{2}) = (\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 5 - 2\sqrt{10} + 2 = 7 - 2\sqrt{10}$

分母: $(\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{5} - \sqrt{2}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2 = 5 - 2 = 3$

したがって、

$\frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} = \frac{7 - 2\sqrt{10}}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{7 - 2\sqrt{10}}{3}$