円 $x^2 + y^2 = 4$ に点 $(4, 2)$ から接線を引く。接点の座標と接線の方程式を求める問題。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 4$ に点 $(4, 2)$ から接線を引く。接点の座標と接線の方程式を求める問題。

2. 解き方の手順

円 $x^2 + y^2 = 4$ 上の接点を $(x_1, y_1)$ とする。

この点における接線の方程式は $x_1 x + y_1 y = 4$ で表される。

この接線が点 $(4, 2)$ を通るので、

$4x_1 + 2y_1 = 4$

$2x_1 + y_1 = 2$

$y_1 = 2 - 2x_1$

$(x_1, y_1)$ は円上の点なので、$x_1^2 + y_1^2 = 4$ を満たす。

$x_1^2 + (2 - 2x_1)^2 = 4$

$x_1^2 + 4 - 8x_1 + 4x_1^2 = 4$

$5x_1^2 - 8x_1 = 0$

$x_1(5x_1 - 8) = 0$

$x_1 = 0$ または $x_1 = \frac{8}{5}$

$x_1 = 0$ のとき、$y_1 = 2 - 2(0) = 2$

接点は $(0, 2)$ となり、接線の方程式は $0x + 2y = 4$ より $y = 2$ となる。

$x_1 = \frac{8}{5}$ のとき、$y_1 = 2 - 2(\frac{8}{5}) = 2 - \frac{16}{5} = \frac{10 - 16}{5} = -\frac{6}{5}$

接点は $(\frac{8}{5}, -\frac{6}{5})$ となり、接線の方程式は $\frac{8}{5}x - \frac{6}{5}y = 4$ となる。

両辺に $\frac{5}{6}$ をかけると $\frac{4}{3}x - y = \frac{10}{3}$

$y = \frac{4}{3}x - \frac{10}{3}$

3. 最終的な答え

接点の座標が $(0, 2)$ のとき、接線の方程式は $y = 2$ である。

接点の座標が $(\frac{8}{5}, -\frac{6}{5})$ のとき、接線の方程式は $y = \frac{4}{3}x - \frac{10}{3}$ である。