平面上の3点 O(0, 0), A(4, 8), B(-2, 11) が与えられている。 (1) 点Bを通り、三角形OABの面積を2等分する直線の方程式を求める。 (2) 点P(1, 2)を通り、三角形OABの面積を2等分する直線の方程式を求める。

1. 問題の内容

平面上の3点 O(0, 0), A(4, 8), B(-2, 11) が与えられている。

(1) 点Bを通り、三角形OABの面積を2等分する直線の方程式を求める。

(2) 点P(1, 2)を通り、三角形OABの面積を2等分する直線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1)

三角形OABの面積を2等分する直線は、線分OAの中点を通る。

線分OAの中点Mの座標は $((4+0)/2, (8+0)/2) = (2, 4)$ である。

点B(-2, 11)と点M(2, 4)を通る直線の方程式を求める。

直線の傾きは $\frac{4-11}{2-(-2)} = \frac{-7}{4}$ である。

よって、求める直線の方程式は $y - 4 = -\frac{7}{4}(x - 2)$ となる。

これを整理すると、 $4(y - 4) = -7(x - 2)$ より $4y - 16 = -7x + 14$ なので、 $7x + 4y - 30 = 0$。

(2)

点P(1, 2)を通る直線の方程式を $y - 2 = m(x - 1)$ とする。つまり、$y = mx - m + 2$。

この直線と線分OAの交点をQとする。

線分OAの方程式は $y = 2x$ である。

交点Qの座標を求めるために、$2x = mx - m + 2$ を解く。

$(2 - m)x = 2 - m$

$x = \frac{2-m}{2-m} = 1$ （ただし、$m \ne 2$)。このとき、$y = 2x = 2$となり、交点QはPと一致する。つまり直線は点Pを通って線分OAと交わらない。

直線が線分OBと交わる場合を考える。線分OBの方程式は $y = -\frac{11}{2}x$ である。

交点Rの座標を求めるために、$-\frac{11}{2}x = mx - m + 2$ を解く。

$(m + \frac{11}{2})x = m - 2$

$x = \frac{m-2}{m + \frac{11}{2}} = \frac{2m - 4}{2m + 11}$

このとき、$y = -\frac{11}{2} (\frac{2m-4}{2m+11}) = \frac{-11m + 22}{2m + 11}$。

三角形OABの面積は$\frac{1}{2} |4 \cdot 11 - 8 \cdot (-2)| = \frac{1}{2} |44 + 16| = \frac{1}{2} \cdot 60 = 30$

三角形OPRの面積は15である必要がある。

$\frac{1}{2} |1 \cdot \frac{-11m + 22}{2m + 11} - 2 \cdot \frac{2m - 4}{2m + 11}| = 15$

$|\frac{-11m + 22 - 4m + 8}{2m + 11}| = 30$

$|-15m + 30| = 30|2m + 11|$

$|-m + 2| = 2|2m + 11|$

$-m + 2 = 2(2m + 11)$ または $-m + 2 = -2(2m + 11)$

$-m + 2 = 4m + 22$ または $-m + 2 = -4m - 22$

$-20 = 5m$ または $3m = -24$

$m = -4$ または $m = -8$

$m=-4$のとき、$y = -4x + 6$。

$m=-8$のとき、$y = -8x + 10$。

3. 最終的な答え

(1) $7x + 4y - 30 = 0$

(2) $y = -4x + 6$ または $y = -8x + 10$。つまり、$4x + y - 6 = 0$ または $8x + y - 10 = 0$。