与えられた6つの2次関数について、グラフとx軸の共有点の座標を求め、さらにx軸に接するグラフを持つ関数を特定します。

はい、承知いたしました。問題文に沿って解答します。

1. 問題の内容

与えられた6つの2次関数について、グラフとx軸の共有点の座標を求め、さらにx軸に接するグラフを持つ関数を特定します。

2. 解き方の手順

2次関数 $y = ax^2 + bx + c$ のグラフとx軸の共有点は、$y=0$ となるxの値を求めることで得られます。つまり、2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ を解きます。判別式 $D = b^2 - 4ac$ を用いて、共有点の個数を判断します。

* D > 0：x軸と2点で交わる（共有点が2つ）

* D = 0：x軸と1点で接する（共有点が1つ）

* D < 0：x軸と交わらない（共有点なし）

x軸に接するグラフを持つ関数は、D = 0 となるものです。

それぞれの関数について、判別式を計算し、共有点の座標を求めます。

(1) $y = x^2 - 5x + 4$

$D = (-5)^2 - 4(1)(4) = 25 - 16 = 9 > 0$

$x^2 - 5x + 4 = (x - 1)(x - 4) = 0$ より $x = 1, 4$

共有点: (1, 0), (4, 0)

(2) $y = 2x^2 + x - 6$

$D = (1)^2 - 4(2)(-6) = 1 + 48 = 49 > 0$

$2x^2 + x - 6 = (2x - 3)(x + 2) = 0$ より $x = \frac{3}{2}, -2$

共有点: $(\frac{3}{2}, 0)$, (-2, 0)

(3) $y = x^2 + 3x - 2$

$D = (3)^2 - 4(1)(-2) = 9 + 8 = 17 > 0$

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{2}$

共有点: $(\frac{-3 + \sqrt{17}}{2}, 0)$, $(\frac{-3 - \sqrt{17}}{2}, 0)$

(4) $y = -x^2 + 6x - 9$

$D = (6)^2 - 4(-1)(-9) = 36 - 36 = 0$

$-x^2 + 6x - 9 = -(x^2 - 6x + 9) = -(x - 3)^2 = 0$ より $x = 3$

共有点: (3, 0)

(5) $y = -3x^2 + x + 1$

$D = (1)^2 - 4(-3)(1) = 1 + 12 = 13 > 0$

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{13}}{-6} = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{6}$

共有点: $(\frac{1 + \sqrt{13}}{6}, 0)$, $(\frac{1 - \sqrt{13}}{6}, 0)$

(6) $y = 3x^2 + 6x + 3$

$D = (6)^2 - 4(3)(3) = 36 - 36 = 0$

$3x^2 + 6x + 3 = 3(x^2 + 2x + 1) = 3(x + 1)^2 = 0$ より $x = -1$

共有点: (-1, 0)

x軸に接するものは、判別式が0になる (4) と (6) です。

3. 最終的な答え

* (1) 共有点: (1, 0), (4, 0)

* (2) 共有点: $(\frac{3}{2}, 0)$, (-2, 0)

* (3) 共有点: $(\frac{-3 + \sqrt{17}}{2}, 0)$, $(\frac{-3 - \sqrt{17}}{2}, 0)$

* (4) 共有点: (3, 0)

* (5) 共有点: $(\frac{1 + \sqrt{13}}{6}, 0)$, $(\frac{1 - \sqrt{13}}{6}, 0)$

* (6) 共有点: (-1, 0)

x軸に接するグラフを持つ関数: (4), (6)