与えられた5x5の行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。 $\begin{vmatrix} 2 & 1 & 4 & 8 & -5 \\ -2 & -2 & 5 & -5 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 1 & 0 \end{vmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた5x5の行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。

$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 4 & 8 & -5 \\ -2 & -2 & 5 & -5 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 1 & 0 \end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、まず、3行と4行を入れ替えます。この操作により、行列式の符号が変わります。

$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 4 & 8 & -5 \\ -2 & -2 & 5 & -5 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & -2 & 1 & 0 \end{vmatrix}$

行列式は以下のようになります。

$-\begin{vmatrix} 2 & 1 & 4 & 8 & -5 \\ -2 & -2 & 5 & -5 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & -2 & 1 & 0 \end{vmatrix}$

次に、5行に3行の2倍を加えます。この操作は行列式の値を変更しません。

$-\begin{vmatrix} 2 & 1 & 4 & 8 & -5 \\ -2 & -2 & 5 & -5 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{vmatrix}$

次に、5行から4行を引きます。この操作も行列式の値を変更しません。

$-\begin{vmatrix} 2 & 1 & 4 & 8 & -5 \\ -2 & -2 & 5 & -5 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \end{vmatrix}$

この行列は上三角行列なので、行列式は対角成分の積になります。

$-(2 \times -2 \times 1 \times 1 \times 2) = -(-8) = 8$

3. 最終的な答え

8