与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は $\begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 \\ -2 & -2 & 0 & 0 \\ 3 & 5 & -1 & 2 \\ -7 & -2 & 1 & 1 \end{vmatrix}$ です。
2025/7/18
1. 問題の内容
与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は
$\begin{vmatrix}
2 & 1 & 0 & 0 \\
-2 & -2 & 0 & 0 \\
3 & 5 & -1 & 2 \\
-7 & -2 & 1 & 1
\end{vmatrix}$
です。
2. 解き方の手順
まず、行列式を計算するために、第1行または第2行に着目すると、0が多く計算が簡単になることがわかります。
第1行または第2行に関して余因子展開を行います。
第1行に関して余因子展開すると、
$\begin{vmatrix}
2 & 1 & 0 & 0 \\
-2 & -2 & 0 & 0 \\
3 & 5 & -1 & 2 \\
-7 & -2 & 1 & 1
\end{vmatrix} = 2 \begin{vmatrix}
-2 & 0 & 0 \\
5 & -1 & 2 \\
-2 & 1 & 1
\end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix}
-2 & 0 & 0 \\
3 & -1 & 2 \\
-7 & 1 & 1
\end{vmatrix} + 0 \begin{vmatrix}
-2 & -2 & 0 \\
3 & 5 & 2 \\
-7 & -2 & 1
\end{vmatrix} - 0 \begin{vmatrix}
-2 & -2 & 0 \\
3 & 5 & -1 \\
-7 & -2 & 1
\end{vmatrix}$
$= 2 \begin{vmatrix}
-2 & 0 & 0 \\
5 & -1 & 2 \\
-2 & 1 & 1
\end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix}
-2 & 0 & 0 \\
3 & -1 & 2 \\
-7 & 1 & 1
\end{vmatrix}$
次に、それぞれの3x3行列の行列式を計算します。
$\begin{vmatrix}
-2 & 0 & 0 \\
5 & -1 & 2 \\
-2 & 1 & 1
\end{vmatrix} = -2 \begin{vmatrix}
-1 & 2 \\
1 & 1
\end{vmatrix} = -2((-1)(1) - (2)(1)) = -2(-1 - 2) = -2(-3) = 6$
$\begin{vmatrix}
-2 & 0 & 0 \\
3 & -1 & 2 \\
-7 & 1 & 1
\end{vmatrix} = -2 \begin{vmatrix}
-1 & 2 \\
1 & 1
\end{vmatrix} = -2((-1)(1) - (2)(1)) = -2(-1 - 2) = -2(-3) = 6$
したがって、元の行列の行列式は
3. 最終的な答え
6