与えられた5x5行列の行列式を計算します。行列は次の通りです。 $\begin{vmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ -2 & 2 & 0 & -3 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & -1 & -1 \\ 1 & -2 & -1 & 3 & 0 \\ -2 & 2 & -2 & 2 & 0 \end{vmatrix}$

代数学行列式線形代数余因子展開
2025/7/18

1. 問題の内容

与えられた5x5行列の行列式を計算します。行列は次の通りです。
$\begin{vmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
-2 & 2 & 0 & -3 & 1 \\
0 & 1 & 2 & -1 & -1 \\
1 & -2 & -1 & 3 & 0 \\
-2 & 2 & -2 & 2 & 0
\end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

与えられた行列の行列式を計算するために、まず1行目で余因子展開を行います。1行目には4つの0があるので、計算は簡単になります。
det(A)=0C11+0C12+0C13+0C14+1C15det(A) = 0 \cdot C_{11} + 0 \cdot C_{12} + 0 \cdot C_{13} + 0 \cdot C_{14} + 1 \cdot C_{15}
ここで、C15C_{15}は(1,5)成分の余因子です。
$C_{15} = (-1)^{1+5} \begin{vmatrix}
-2 & 2 & 0 & -3 \\
0 & 1 & 2 & -1 \\
1 & -2 & -1 & 3 \\
-2 & 2 & -2 & 2
\end{vmatrix}$
したがって、
$det(A) = (-1)^{1+5} \begin{vmatrix}
-2 & 2 & 0 & -3 \\
0 & 1 & 2 & -1 \\
1 & -2 & -1 & 3 \\
-2 & 2 & -2 & 2
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
-2 & 2 & 0 & -3 \\
0 & 1 & 2 & -1 \\
1 & -2 & -1 & 3 \\
-2 & 2 & -2 & 2
\end{vmatrix}$
この4x4行列の行列式を計算するために、3行目に注目し、1行目+2x3行目、4行目+2x3行目を計算します。
$\begin{vmatrix}
0 & -2 & -2 & 3 \\
0 & 1 & 2 & -1 \\
1 & -2 & -1 & 3 \\
0 & -2 & -4 & 8
\end{vmatrix}$
次に、1列目で余因子展開を行います。
$1 \cdot (-1)^{3+1} \begin{vmatrix}
-2 & -2 & 3 \\
1 & 2 & -1 \\
-2 & -4 & 8
\end{vmatrix}$
$= \begin{vmatrix}
-2 & -2 & 3 \\
1 & 2 & -1 \\
-2 & -4 & 8
\end{vmatrix}$
=2(164)+2(82)+3(4+4)=2(12)+2(6)+3(0)=24+12+0=12= -2(16-4) + 2(8-2) + 3(-4+4) = -2(12) + 2(6) + 3(0) = -24 + 12 + 0 = -12

3. 最終的な答え

-12

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