与えられた4x4行列の行列式を計算します。行列は $ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ -7 & 0 & -2 & 1 \end{pmatrix} $ です。

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を計算します。行列は

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ -7 & 0 & -2 & 1 \end{pmatrix}$

です。

2. 解き方の手順

行列式は、上三角行列または下三角行列の場合、対角成分の積で計算できます。与えられた行列は、第1列と第4列に多くの0が含まれているので、行列式の定義を使って計算するのが効率的です。

行列式を第一行で展開すると、

$\det \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ -7 & 0 & -2 & 1 \end{pmatrix} = 1 \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 7 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \end{pmatrix} - 0 + 0 - 0$

したがって、3x3行列の行列式を計算する必要があります。この3x3行列は上三角行列であるため、行列式は対角成分の積で計算できます。

$\det \begin{pmatrix} 1 & 7 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \end{pmatrix} = (1) \cdot (-1) \cdot (1) = -1$

したがって、元の行列の行列式は

$1 \cdot (-1) = -1$

3. 最終的な答え

-1