$f$ は平面ベクトルを $x$ 軸で折り返す変換、$g$ は直線 $y=x$ で折り返す変換である。 (1) ベクトル $\vec{e_2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ に対して、$f(\vec{e_2})$ と $g(\vec{e_2})$ をそれぞれ求める。 (2) 1次変換 $f \circ g$ を表す行列を求める。

1. 問題の内容

$f$ は平面ベクトルを $x$ 軸で折り返す変換、$g$ は直線 $y=x$ で折り返す変換である。

(1) ベクトル $\vec{e_2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ に対して、$f(\vec{e_2})$ と $g(\vec{e_2})$ をそれぞれ求める。

(2) 1次変換 $f \circ g$ を表す行列を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$f$ は $x$ 軸に関する折り返しなので、

$f\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ -y \end{pmatrix}$

したがって、

$f(\vec{e_2}) = f\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix}$

$g$ は $y=x$ に関する折り返しなので、

$g\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix}$

したがって、

$g(\vec{e_2}) = g\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

(2)

1次変換 $f$ を表す行列を $A$、1次変換 $g$ を表す行列を $B$ とすると、

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

$B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

$f \circ g$ を表す行列は、$AB$ となる。

$AB = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1)

$f(\vec{e_2}) = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix}$

$g(\vec{e_2}) = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

(2)

$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$