与えられた行列の等式を満たす正方行列 $A$ を求める問題です。具体的には、 $\begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} A \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -4 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ を満たす行列 $A$ を求めます。

1. 問題の内容

与えられた行列の等式を満たす正方行列 $A$ を求める問題です。具体的には、

$\begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} A \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -4 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

を満たす行列 $A$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた等式を

$BA C = D$

と書きます。ここで、

$B = \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$, $C = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$, $D = \begin{pmatrix} 2 & -4 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

です。

行列 $B$ と $C$ が正則であると仮定すると、両辺に左から $B^{-1}$ を、右から $C^{-1}$ をかけることで、

$B^{-1} BAC C^{-1} = B^{-1}DC^{-1}$

$A = B^{-1}DC^{-1}$

となります。

まず、$B^{-1}$ を求めます。

$B = \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$

なので、

$\det B = (4)(4) - (5)(3) = 16 - 15 = 1$

したがって、

$B^{-1} = \frac{1}{\det B} \begin{pmatrix} 4 & -5 \\ -3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -5 \\ -3 & 4 \end{pmatrix}$

次に、$C^{-1}$ を求めます。

$C = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$

なので、

$\det C = (0)(-2) - (1)(1) = -1$

したがって、

$C^{-1} = \frac{1}{\det C} \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

よって、

$A = B^{-1} D C^{-1} = \begin{pmatrix} 4 & -5 \\ -3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -4 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

まず、$\begin{pmatrix} 4 & -5 \\ -3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -4 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ を計算します。

$\begin{pmatrix} 4 & -5 \\ -3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -4 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (4)(2)+(-5)(1) & (4)(-4)+(-5)(0) \\ (-3)(2)+(4)(1) & (-3)(-4)+(4)(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8-5 & -16+0 \\ -6+4 & 12+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -16 \\ -2 & 12 \end{pmatrix}$

次に、$\begin{pmatrix} 3 & -16 \\ -2 & 12 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ を計算します。

$\begin{pmatrix} 3 & -16 \\ -2 & 12 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (3)(2)+(-16)(1) & (3)(1)+(-16)(0) \\ (-2)(2)+(12)(1) & (-2)(1)+(12)(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6-16 & 3+0 \\ -4+12 & -2+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -10 & 3 \\ 8 & -2 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

したがって、

$A = \begin{pmatrix} -10 & 3 \\ 8 & -2 \end{pmatrix}$