座標平面上に3点 A(1, 2), B(5, 4), C(2, 7) がある。放物線 $y = x^2 + ax + b$ は点 A を通り、線分 BC と点 D で交わっている。三角形 ABD の面積と三角形 ADC の面積の比が 1:2 であるとき、定数 $a, b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

座標平面上に3点 A(1, 2), B(5, 4), C(2, 7) がある。放物線 $y = x^2 + ax + b$ は点 A を通り、線分 BC と点 D で交わっている。三角形 ABD の面積と三角形 ADC の面積の比が 1:2 であるとき、定数 $a, b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、放物線が点 A(1, 2) を通ることから、$a$ と $b$ の関係式を求める。

$2 = 1^2 + a(1) + b$

$2 = 1 + a + b$

$a + b = 1$

次に、点 D は線分 BC 上にあるので、$\triangle ABD : \triangle ADC = 1 : 2$ より、$BD : DC = 1 : 2$ である。点 D の座標を求めるために、線分 BC を 1:2 に内分する点を求める。

点 B(5, 4) と点 C(2, 7) を 1:2 に内分する点 D の座標は、

$D_x = \frac{2 \cdot 5 + 1 \cdot 2}{1+2} = \frac{10+2}{3} = \frac{12}{3} = 4$

$D_y = \frac{2 \cdot 4 + 1 \cdot 7}{1+2} = \frac{8+7}{3} = \frac{15}{3} = 5$

よって、点 D の座標は (4, 5) である。

点 D(4, 5) は放物線 $y = x^2 + ax + b$ 上にあるので、

$5 = 4^2 + a(4) + b$

$5 = 16 + 4a + b$

$4a + b = -11$

$a + b = 1$ と $4a + b = -11$ の連立方程式を解く。

$4a + b - (a + b) = -11 - 1$

$3a = -12$

$a = -4$

$b = 1 - a = 1 - (-4) = 5$

よって、$a = -4$ , $b = 5$ である。

3. 最終的な答え

$a = -4, b = 5$

選択肢(2)が正解。